 |
|
Довірчі інтервали для оцінки параметрів нормального розподілу
Припустимо, що кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Розглянемо задачі побудови довірчих інтервалів для параметрів її розподілу.
4.1. Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при відомому середньому квадратичному відхиленні s
Припустимо, що вибірку взято із нормального розподілу, середнє квадратичне відхилення якого відоме. Необхідно оцінити невідоме математичне сподівання a за вибірковим середнім 
, тобто знайти довірчі інтервали, які покривають параметр a з надійністю g.
Цю задачу можна розв’язати за допомогою такої робочої формули:
,
де – вибіркове середнє, n – обсяг вибірки, s – відоме середнє квадратичне відхилення.
Число t визначається з рівності: 2Ф(t) = g або Ф(t) = g/2, за допомогою таблиць функції Лапласа (табл. 2 додаток 1). Таким чином, з надійністю g можна стверджувати, що довірчий інтервал 
покриває невідомий параметр a; при цьому отримана точність оцінки 
.
П р и к л а д 7.6.
Випадкова величина Х – розподілена нормально, її середнє квадратичне відхилення s = 3. Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання a, якщо відомі: вибіркове середнє 
, обсяг вибірки n = 36 і надійність оцінки g = 0,95.
Р о з в ‘ я з у в а н н я
Довірчий інтервал має такий вигляд:
.
Усі величини, крім t, в цій формулі відомі, отже, визначимо цю величину:
.
Із табл. 2 (додаток 1) знаходимо, що t = 1,96. Підставляючи у формулу довірчого інтервалу числові значення: t = 1,96, n = 36, і s = 3, отримуємо остаточний результат:
4,02 < a < 5,98.
4.2. Довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання нормального розподілу при невідомому середньому квадратичному відхиленні s
Припустимо тепер, що вибірку взято із нормального розподілу, параметр s якого невідомий. Тобто необхідно оцінити невідоме математичне сподівання a за допомогою довірчих інтервалів, якщо відомі вибіркове середнє та виправлене середнє квадратичне відхилення s.
Довірчий інтервал у цьому випадку можна побудувати, використовуючи розподіл Стьюдента. Він має такий вигляд:
де – вибіркове середнє, s – виправлене середнє квадратичне відхилення, n – обсяг вибірки; величину 
за відомими значеннями n та g беруть з таблиці (табл. 3, додатка 1).
Зауважимо, що довірчі інтервали для оцінки математичного сподівання використовуються при оцінці дійсного значення вимірюваної величини.
П р и к л а д 7.7. За даним 25 незалежних вимірювань фізичної величини отримано середнє арифметичне результатів вимірювань: = 48,215 та виправлене середнє квадратичне відхилення: s = 3,0. Необхідно оцінити дійсне значення вимірюваної величини із надійністю g . Прийняти, що g = 0,95.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Дійсне значення вимірюваної величини дорівнює її математичному сподіванню. Тому задача полягає в оцінці математичного сподівання за допомогою довірчого інтервалу. Оскільки значення 
невідоме, то використовуємо таку формулу: 
.
Для знаходження інтервалу спочатку відшукаємо значення величини tg, за умов, що g = 0,95 і n = 25. З табл. 3 (додаток 2) маємо, що tg = 2,064.
Визначаємо точність оцінки таким чином:
.
Тепер визначимо границі довірчого інтервалу:
Отже, встановлено, що із надійністю 0,95 довірчий інтервал:
46,9766 < а < 49,4534 ,
містить у собі дійсне значення вимірюваної величини.
4.3. Довірчі інтервали для оцінки середнього квадратичного відхилення σ нормального розподілу
Припустимо, що кількісна ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Необхідно оцінити невідоме генеральне середнє квадратичне відхилення σ за “виправленим” вибірковим середнім квадратичним відхиленням s.
Довірчі інтервали, що покривають параметр σ із даною надійністю g, визначають за такою формулою:
(7.1)
де s – виправлене середнє квадратичне відхилення, а величину q за відомими значеннями n та g знаходять із таблиці (табл. 4, додатка 1).
Довірчі інтервали для оцінки σ використовують для оцінки точності вимірювань.
П р и к л а д 7.8. За 20 рівноточними вимірюваннями встановлено, що виправлене середнє квадратичне відхилення s = 0,22. Оцінити точність вимірювань із надійністю 0,99.
Р о з в ’ я з у в а н н я
Точність вимірювань описується середнім квадратичним відхиленням σ випадкових помилок, тому необхідно побудувати довірчий інтервал, що покриває параметр σ із заданою надійністю, для цього використовуємо формулу (7.1).
Зважаючи на вхідні дані: n = 20 та g = 0,99, знаходимо, що q = 0,58 (табл. 4, додатка 1).
Тоді шуканий довірчий інтервал набуває такого вигляду:
0,22(1 – 0,58) < σ < 0,22(1 + 0,58),
0,0924 < σ < 0,3476.
Висновки
Вибірковий метод у математичній статистиці полягає в тому, що із загальної кількості об’єктів, які необхідно дослідити, відбирається для обстеження деяка їх частина і за результатами їхнього обстеження робиться висновок про всю сукупність.
Статистичний розподіл вибірки – це відповідність між варіантами та їх частотами. Він може бути описаний таблицею, функцією розподілу або геометрично за допомогою полігона або гістограми.
Параметри розподілу можуть бути охарактеризовані за допомогою точкових або інтервальних оцінок.
Точкові оцінки відзначаються такими властивостями як зміщеність, ефективність, конзистентність (слушність, обґрунтованість). До них відносяться:
– вибіркове середнє , воно є незміщеною, ефективною і консистентною оцінкою математичного сподівання;
– вибіркова дисперсія DВ, що являє собою зміщену оцінку дисперсії;
– виправлена дисперсія s2, тобто незміщена оцінка дисперсії.
Інтервальні оцінки доцільно використовувати, якщо обсяги вибірок невеликі. Вони характеризуються точністю й надійністю. Обидві ці характеристики в межах даного обсягу вибірки одночасно поліпшити неможливо.
Питання для самоконтролю
1. Які основні завдання математичної статистики?
2. Що таке генеральна та вибіркова сукупності?
3. Яка вибірка називається повторною? Яка – безповторною?
4. Що називається статистичним розподілом вибірки?
5. Яким чином можна задати статистичний розподіл вибірки?
6. Дайте визначення полігону частот (відносних частот).
7. Що таке гістограма частот (відносних частот)? Яким чином її можна побудувати?
8. Які властивості повинні мати точкові статистичні оцінки?
9. Які оцінки називають незміщеними?
10. Які оцінки називають конзистентними?
11. Які оцінки називають ефективними?
12. Яку оцінку генерального середнього ви знаєте?
13. Чи буде вибіркова дисперсія незміщеною оцінкою генеральної дисперсії?
14. Сформулюйте теорему додавання дисперсій.
15. Які оцінки називають точковими, а які інтервальними?
16. Коли доцільно застосовувати інтервальні оцінки?
17. Дайте визначення точності оцінки.
18. Що являє собою надійність оцінки?
19. Як можна побудувати довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного сподівання нормального розподілу при відомому середньому квадратичному відхиленні ơ?
20. Як можна побудувати довірчі інтервали для оцінки невідомого математичного сподівання нормального розподілу при невідомому значенні ơ?
21. Яким чином оцінюють точність вимірювання?