Главная | Обратная связь

Критерій згоди Пірсона

 

Якщо закон розподілу невідомий, але є підстави вважати, що він має певний вид F, то перевіряють нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за законом F.

Перевірка гіпотези про закон невідомого розподілу проводиться за допомогою критеріїв згоди.

Критерієм згоди називають спеціально вибрану випадкову величину, яку використовують для перевірки гіпотези про припусканий закон невідомого розподілу.

Існує декілька критеріїв згоди: (критерій Пірсона), критерій Колмогорова, критерій Смирнова та ін.

Розглянемо критерій .

Згідно з цим критерієм для перевірки гіпотези про вид невідомого розподілу, необхідно порівняти емпіричні й теоретичні частоти.

Нехай за вибіркою обсягом n одержано емпіричний розподіл у такому вигляді:

 

Варіанти	x1	x2	…	xS
Емпіричні частоти	n1	n2	…	nS.

 

Крім того обчислено теоретичні частоти за гіпотетичним розподілом F. За рівня значущості a необхідно перевірити таку гіпотезу: генеральна сукупність підпорядковується розподілу F.

За критерій візьмемо таку величину:

, (9.1)

де n_i – емпірична частота варіанти x_і , – теоретична частота варіанти x_і.

Зрозуміло, що чим менше розрізняються емпіричні й теоретичні частоти, тим меншого значення набуває випадкова величина .

Доведено, що коли n→∞, то закон розподілу випадкової величини (9.1), незалежно від того, якому закону підпорядковується генеральна сукупність, має розподіл з k ступенями вільності. Число ступенів вільності знаходять за такою рівністю: k = s – 1 – r, де s – число груп (часткових інтервалів), r – число параметрів гіпотетичного розподілу F. Зокрема, якщо цей розподіл – нормальний, то оцінюють два параметри (математичне сподівання та середнє квадратичне відхилення), тому r = 2 і k = s – 1– 2= s – 3.

Побудуємо правобічну критичну область:

P[ > _kp(a, k)] = a.

 

П р а в и л о. Для того, щоб за даного рівня значущості перевірити нульову гіпотезу Н₀: генеральна сукупність підпорядковується закону розподілу F, необхідно спочатку обчислити теоретичні частоти, а потім спостережуване значення критерію, тобто

,

і за таблицею критичних точок розподілу , з огляду на даний рівень значущості a та на число ступенів вільності k (k = s – 1 – r), знайти критичну точку _кр(a, k). Тоді

якщо _спост< _кр , то нульову гіпотезу приймають;

якщо _спост> _кр , то нульову гіпотезу відкидають.

 

П р и к л а д 9.5. Беручи до уваги, що рівень значущості a = 0,05, перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, коли відомі значення емпіричних і теоретичних частот, а саме:

 

 

Емпіричні частоти
Теоретичні частоти

 

Р о з в ’ я з у в а н н я

Обчислимо спостережуване значення критерію за такою формулою: . Для цього побудуємо розрахункову таблицю (табл. 9.1):

Таблиця 9.1

i	ni		(ni – )	(ni – )2	(ni – )2/	ni2	ni2/
			–1		0,07		12,07
			–4		0,38		34,38
			–8		0,78		66,78
					0,49		113,49
					1,07		95,7
			–7		1,32		24,32
					0,08		15,08
Σ					спост = 4,19		361,19

 

П е р е в і р к а: (Збігається із спостережуваним значенням критерію _спост ).

Отже, обчислення проведено правильно.

Знайдемо число ступенів вільності, враховуючи, що кількість часткових інтервалів s = 7, тоді k = 7– 3 = 4. За табл. 5 додатка 1 знаходимо, що _кр(0,05;4) = 9,48.

Таким чином, , тому немає підстав відкидати нульову гіпотезу. Як бачимо, розбіжність між значеннями теоретичних та емпіричних частот несуттєва. Отже, розподіл можна вважати нормальним.

З а у в а ж е н н я. Критерієм можна користуватися, коли обсяг вибірки n та ймовірності p_i , і=1,2,… s, теоретичного розподілу такі, що

 

, і = 1, 2, … s. (9.2)

 

По суті, це обмеження на обсяг вибірки n, тобто вінмає бути настільки великим, щоб виконувалась умова (9.2).

 

Висновки

 

Статистичними є гіпотези про параметри відомого розподілу або про вид невідомого розподілу.

Для перевірки статистичних гіпотез використовують спеціально розроблені критерії. Кожен критерій має певні межі використання.

Критерії перевірки статистичних гіпотез можна застосовувати для розв’язування реальних задач.

 

Питання для самоконтролю

 

1. Що являє собою статистична гіпотеза?

2. Яка гіпотеза називається нульовою? альтернативною?

3. У чому полягає помилка першого роду?

4. У чому полягає помилка другого роду?

5. Дайте визначення критерію перевірки статистичних гіпотез?

6. Що називають критичною областю та областю прийняття гіпотези?

7. Сформулюйте основний принцип перевірки статистичних гіпотез.

8. Яким чином можна визначити критичну область?

9. Дайте визначення потужності критерія.

10. Сформулюйте критерій Стьюдента для перевірки гіпотези про рівність середніх двох нормально розподілених генеральних сукупностей.

11. За допомогою якого критерію перевіряють гіпотезу про рівність дисперсій двох нормально розподілених генеральних сукупностей?

12. Які критерії називають критеріями згоди?

13. Для перевірки яких гіпотез використовується критерій згоди Пірсона?