 |
|
Означення 8. Добутком многочленів
Розділ I. Многочлени від однієї змінної
Кільце многочленів. Алгебраїчна і функціональна рівність многочленів. Відношення подільності в кільці многочленів. Ділення з остачею.
Означення 1. Многочленом (поліномом) від однієї змінної над областю цілісності Rназивається вираз виду:
, де
- довільне ціле невід’ємне число,
– елементи R,
– деякі символи;
- k-ий степінь змінної 
,
- k-ий коефіцієнт многочлена або коефіцієнт при 
(k= 
).
Приклад: 
Означення 2. Область цілісності – це комутативне кільце з 1 без дільників нуля ( R[x] - сукупність всіх многочленів над областю цілісності ).
Означення 3.Вираз 
(k = 
) називається k-тим
членом або членом k-го степеня многочлена , 
- нульовимабо вільним членом.
Якщо 
(тобто є нульовим елементом області цілісності R), то кажуть, що k-тий член многочлена 
дорівнює нулю або його немає.
Означення 4.Відмінний від нуля член многочлена , степінь якого більший за степінь усіх інших, відмінних від нуля членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена.
З попереднього прикладу:
5 
– старший член, 5 – старший коефіцієнт,
4 – степінь многочлена.
Степінь позначають deg f.
Означення 5.Елемент 0 
R вважаємо константою і многочленом над R. Його називають нуль-многочленом, і позначають 
, тобто 
.
Означення 6. Канонічною формою многочлена називається такий запис, коли члени многочлена упорядковано за спаданням степеня .
Приклад: 
- канонічна форма, а
- не канонічна форма запису многочлена.
Означення 7. Сумою многочленів
називають многочлен
,
Наслідок 1. Степінь суми двох многочленів не перевищує більшого з степенів даних многочленів:
deg ( + 
) ≤ max (deg , deg ).
Наслідок 2. Для довільного многочлена 
Означення 8. Добутком многочленів
називається многочлен 
, де 
, 
, тобто 
.
Наслідок 3. Якщо і не є нуль-многочленом, то
deg ( ) = deg + deg .
Наслідок 4. Якщо = , то = .
Означення 9. Якщо многочлен 
R[x], має канонічну форму, i 
, то елемент 
з
кільця R називається значенням многочлена 
при 
і
позначається 
.
Якщо 
, то число 
називається коренем
многочлена .
Означення 10. Многочлени і називаються рівнимиміж собою = , якщо їх канонічні форми збігаються: мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти (алгебраїчна рівність многочленів).
Означення 11. Кожен многочлен R[x] визначає відображення jf = R®R таке, що jf ( ) = 
.
Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени і R[x] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції jf і jg, які вони визначають (функціональна рівність многочленів).
Алгебраїчне і функціональне тлумачення многочленів рівносильні над областю цілісності характеристики 0.
Якщо многочлени рівні алгебраїчно, то очевидно вони рівні і функціонально. Обернене твердження не виконується.
Означення 12.Нехай Р- деяке поле. Многочлен P[x] ділиться націло на P[x] ( записується 
), якщо існує многочлен 
P [x] такий, що = .
Відношення подільності многочленів над полем Р має такі властивості:
1) 
[ 
Þ ;
2) 
[ Þ
Þ ( ± ) ];
3) 
[ Þ 
P ];
4) 
[ c];
5) 
[ Þ
Þ 
P [x] = c ];
6) 
[ Þ
Þ c ];
7) 
[ 
…
Þ
Þ 
[( 
+ … + 
) ].
Означення 13. У кільці Р[x] многочлени і асоційовані, якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою:
.
Теорема 1. Довільний многочлен Р[x] ділиться з остачею на будь-який многочлен Р[x], ¹ 0; при цьому частка і остача 
належать Р[x] і визначаються однозначно, тобто
, причому 
або deg < deg , де
-ділене, - дільник, - частка, - остача.
Для знаходження частки і остачі від ділення многочлена на над полем Р використовують різні методи: ділення “кутом”, метод невизначених коефіцієнтів, табличні схеми.