ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.
1.1.Знайти всі цілі числа і , при яких многочлен є квадратом деякого многочлена з кільця , та записати многочлен . Розв’язання. Многочлен має степінь 4. Тому степінь шуканого многочленна (якщо він існує!) рівна 2. Нехай і . Запишемо многочлен у канонічній формі: . Так як ці многочлени рівні, то маємо систему рівнянь: З першого і останнього рівнянь системи знаходимо, що .Це означає, що система рівна сукупності чотирьох систем:
Отже, при і многочлени і мають вигляд: При і отримуємо такі многочлени: 1.2.Довести, що з функціональної точки зору наступні многочлени дорівнюють один одному: з кільця .
Розв’язання. - остачі від ділення на 3 (лишки за модулем 3). З функціональної точки зору многочлени рівні, якщо рівні між собою функції jf і jg , які вони визначають, тобто, якщо функції набувають однакових значень при однакових лишках:
Отже,
1.3.Знайти суму коефіцієнтів многочлена: у кільці . Розв’язання. Сума коефіцієнтів дорівнює значенню многочлена при . 1.4. Знайти остачу від ділення на у кільці Z[x]. Розв’язання. Для многочленів i в кільці Z[x] застосуємо теорему про ділення з остачею. Тоді існують такі многочлени i , що = + i deg < 2. Тоді Тому можемо записати таку рівність: . Враховуючи, що g (-1) = g (1) = 0, то підставивши ці значення замість у рівність матимемо: Тому = + 2. 1.5.Остачі від ділення многочленів на в кільці Q[x] відповідно дорівнюють , Знайти остачу від ділення многочлена на g (x). Розв’язання. За теоремою про ділення з остачею маємо: Запишемо умову задачі згідно цих розкладів: Звідси маємо, що шукана остача . Ділення многочлена на двочлен ( x-a ). Теорема Безу. Схема Горнера. Розклад многочлена за степенями ( x-a). Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне многочленів. Алгоритм Евкліда. Теорема Безу. Для будь-якого елемента a з поля Р остача при діленні многочлена P[x] на ( – a) дорівнює (a). Наслідок. Якщо = a є коренем , то ( - a). Приклад.1 Поділити многочлен на двочлен( – a ) можна “кутом”:
_4x4 + x3 - ділене |x + 1 + i - дільник 4x4 + (4 + 4i) x3 |4x3 – (3 + 4i) x2 + (7i - 1) x + 8 – 6i = - частка _-(3 + 4i) x3 -(3 + 4i) x3 – ( 1+ i)(3 + 4i) x2 _(7i - 1) x2 2. Метод невизначених коефіцієнтів : 4 4 + 3 = ( + 1 + i) + , deg 3, deg < 2 тому = A3 3 + A2 2 + A1 + A0, = B1 + B0 4 4 + 3 = ( + 1 + i)( A3 3 + A2 2 + A1 + A0) + B0 маємо:
тому = 4 3 – (3 + 4i) 2 + (7i - 1) + 8 – 6i = -2i - 14.
3. Схема Горнера: a = -1 - i
При кожному наступному діленні старший коефіцієнт переписується, а робочою стрічкою стає щойно написана стрічка з коефіцієнтів.
Розкласти многочлен за степенями ( x - a ) означає представити його у вигляді: = cn ( - a )n + cn-1 ( - a )n-1 + … + c1 ( - a ) + c0 Це зручно робити за схемою Горнера, де с0, с1,..., сn являються частками при послідовному діленні многочлена на ( - a). Приклад: Розкласти многочлен = 4 + 3 + 2 + за степенями ( - a), = в кільці Z3[ ]. Розв’язання. Виконаємо послідовне ділення многочлена на двочлен ( - ), використовуючи схему Горнера.
Маємо = ( - )4 + ( - )2 + ( - ).
Означення 1. Якщо многочлен є дільником многочлена і многочлена , то він називається спільним Означення 2. Спільний дільник многочленів і , який ділиться на кожен інший спільний дільник і , називається найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f(x),g(x)). Означення 3. Многочлени і Р[x] називаються взаємно простими, якщо їх спільний дільник є многочленом нульового степеня: . Теорема 2. Для будь-яких двох многочленів i Р [x] існує НСД , такий, що = + . Таке представлення називається лінійним представленням НСД, де і – деякі многочлени з Р[ ]. Наслідок. Многочлени i Р[x] взаємно прості тоді і тільки тоді, коли існують такі многочлени і Р[x], що + = 1.
Властивості взаємно простих многочленів: 1) [( , ) = 1 ( , ) = 1 2) [ ( , ) = 1 3) [ ( , ) = 1 Алгоритм Евкліда. Маємо і , причому deg deg . Виконаємо послідовне ділення : = + = + = + … = + = Остання відмінна від нуля остача у цій системі рівностей і є НСД многочленів і .
Властивості НСД: 1) будь-які многочлени і мають тривіальні НСД – дільники одиниці кільця Р[x]; 2) якщо – НСД многочленів і , то " с 0 і – теж НСД многочленів і . 3) якщо i - НСД многочленів і , то , бо - НСД , а , бо – НСД. Тоді i – aсоційовані, тобто = , де c – const, c 0.
Зауваження:НСД можна обчислювати з точністю до сталого множника. Приклад: Знайти НСД = 4 + 3 + 2 + + 1 i = 5 3 + 4 2 + 3 + 2. Розв’язання. 1) ( : ) ( щоб уникнути дробів множимо на 5) x4 + x3 + x2 + x + 1 |5x3 + 4x2 + 3x + 2 _5x4 + 5x3 + 5x2 + 5x + 5 |x + 1 = - частка 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x x3 + 2x2 + 3x + 5 _5x3 + 10x2 + 15x + 25 5x3 + 4x2 + 3x + 2 6x2 + 12x + 23 = – остача
= 6x2 + 12x + 23.
2) ( : )
5x3 + 4x2 + 3x + 2 |6x2 + 12x + 23 _30x3 + 24x2 + 18x + 12 | 5x - 6 = - частка 30x3 + 60x2 + 115x _-36x2 -97x + 12 36x2 -72x - 138 -25x + 150 = – остача
= -x + 6 3) ( : )
_6x2 + 12x + 23 |-x + 6 6х2 – 6х |-6x - 48 = - частка _48х + 23 48х - 288 311 / : 311 1= - остача
Отже = 1, тому ( ) =1 – взаємно прості.
Означення 4. Спільним кратним многочленів f(x) і . Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається їх спільне кратне, на яке ділиться кожне спільне кратне цих многочленів. Позначається так : [f(x),g(x)]. Теорема 3. Для будь-яких відмінних від нуля многочленів і НСК існує і визначається однозначно з точністю до сталого множника. [ , ] = ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|