Відокремлення кратних множників.

Представляємо многочлен у вигляді добутку ,

де – добуток незвідних множників з певною кратністю. Знаходимо похідну многочлена , де не ділиться на . Найбільший спільний дільник є добутком усіх множників, які входять у розклади як так і :

Знайдемо , де ₂ не ділиться на

Далі .

Аналогічно

...........................................

тут (і = 1,...,m) не містять множників . Тепер треба знайти кожен множник окремо, тому поділимо на , отримаємо:

......................................

звідси маємо формули для : .

Приклад. Алгоритм відокремлення кратних множників:

Знаходимо похідну многочлена :

За алгоритмом Евкліда знаходимо НДС многочленів і

x³- 3x²+ 4 |3x²- 6x 3x²- 6x |-6x + 12

3x³- 9x²+ 12 |x - 1 6x²- 12x | -x

3x³- 6x² 6x²- 12x

_ - 3x²+ 12 0

- 3x²+ 6x

-6x + 12

НДС =

x³- 3x²+ 4 |-6x + 12 x²- x - 2 |-6x + 12

6x³+ 18x²- 24 |x²- x - 2 -6x²+ 6x + 12 |x + 1

6x³+ 12x²-6x²+ 12x

_ 6x²- 24 -6x + 12

6x²- 12x -6x + 12

12x - 24 0

12x - 24

Знаходимо

Відповідь:

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.

3.1. Довести, що многочлен незвідний в .

Розв’язання.

Многочлен є звідним у полі , якщо його можна розкласти в добуток не менше як двох многочленів ненульового степеня з кільця .

коренів немає, тому в полі цей многочлен незвідний.

3.2.Розкласти многочлен на незвідні множники в полі , якщо відомо, що цей многочлен має два корені, які є протилежними елементами в .

Розв’язання.

В є такі елементи : . Протилежними коренями є .

Так, як - многочлен третього степеня, то

Прирівнюємо відповідні коефіцієнти:

тому .

3.3. Розкласти на незвідні множники в полі многочлен , якщо .

Розв’язання.

Це симетричний многочлен, тому винесемо за дужки :

Нехай , тоді

3.4. Знайти кратність кореня многочлена

з кільця .

Розв’язання.

Для цього використаємо схему Горнера:

		-6		-6
		-3		-3

- корінь кратності 2

3.5.Відокремити кратні кoрені многочлена .

Розв’язання.

Знаходимо похідну многочлена f(x) і шукаємо їх НСД:

x⁵-ix⁴+ 5x³- ix²+ 8x + 4i | 5x⁴- 4ix⁴+ 15x³- 2ix + 8

5x⁵- 5ix⁴+ 25x³- 5ix²+ 40x + 20i | x - i

5x⁵- 4ix⁴+ 15x³- 2ix + 8x

-ix⁴+ 10x³- 3ix²+ 32x + 20i

-5ix⁴ + 50x³- 15ix²+ 160x + 100i

-5ix⁴- 4x³- 15ix²- 2x - 8i

54x³+ 162x + 108i

5x⁴- 4ix⁴+ 15x³- 2ix + 8 | x³+ 3x + 2i

5x⁴+ 15x²+ 10ix | 5x - 4i

-4ix³- 12ix + 8

Отже

x³+ 3x + 2 | 3x²+ 3 3x²+ 3 | 6x + 6i

3x³+ 9x + 6i | x x²+ 1 | x + i

3x³+ 3xx²+ ix | x - i

6x + 6i -ix + 1

-ix + 1

Знаходимо :

3x²+ 3 | 6x + 6i

x²+ 1 | x + i

x²+ ix | x - i

_-ix + 1

-ix + 1

обчислимо многочлени

x⁵- ix⁴+ 5x³- ix²+ 8x + 4i | x³+ 3х+ 2ix³+ 3x + 2i | x + i

x⁵+ 3x³+ 2ix²| x²- ix + 2 x³+ ix² | x²- ix + 2

-ix⁴+ 2x³- 3ix²+ 8x + 4i -ix²+ 3x + i2

-ix⁴- 3ix²+ 2x-ix²+ x

2x³+ 6x + 4i 2x + 2i

2x³+ 6x + 4i2x + 2i

0 0

x²– ix + 2 | x + i

x²+ ix | x + 2i

-2ix + 2

-2ix +2

Тепер знайдемо .

Таким чином маємо: .

3.6.Довести, що многочлен звідний у полі Z.

Розв’язання.

Якщо многочлен звідний у полі Z, то його можна розкласти на добуток не менше як двох многочленів ненульового степеня з
кільця Z[x].

Щоб розкласти многочлен на множники, застосуємо метод невизначених коефіцієнтів. При цьому розглянемо єдиний випадок можливого розкладу: один множник першого степеня, а другий другого степеня.

Нехай .