Главная | Обратная связь

Розділ V. Цікаві задачки

Задачі на доведення

 

15.1. Довести, що якщо і - корені многочлена , а і - корені многочлена , то виконується рівність .

 

Доведення.

За теоремою Вієта маємо: Звідси:

 

15.2. Довести, що корені многочлена задовольняють рівність

 

Доведення.

За теоремою Вієта маємо: Тому:

 

15.3. Довести, що многочлен ділиться на многочлен .

 

Доведення.

Використаємо метод математичної індукції:

1.

2. припустимо, що , тоді:

 

15.4 Довести, що при набуває цілих значень.

 

Доведення.

Запишемо цей многочлен у вигляді

.

Оскільки серед дев’яти послідовних цілих чисел завжди знайдуться ті, що діляться

націло на 2, 5, 7, 9, тому (добуток взаємно простих чисел). Отже, многочлен набуває цілих значень.

 

15.5. Для заданих знайти всі значення, які многочлен набуває при .

 

Розв’язання.

Функція має на графіку одну точку мінімуму . При функція спадає, а при - зростає. Тому для множини значень даної функції на маємо: якщо , то

; якщо , то

, тобто , при , при ; якщо , то

 

15.6. Довести, що сумою трьох квадратів.

Доведення.

Додамо і віднімемо вираз :

що і треба було довести.

 

15.7. Довести, що якщо , то .

 

Доведення.

Так як , то кожний з доданків, що стоять в квадратних дужках, включаючи , напевно діляться на . Отже, права частина рівності, ф одночасно й , діляться на .

 

15.8. Довести, що корені рівняння дійсні числа, якщо .

 

Доведення.

Після деяких перетворень маємо

 

15.9. Довести теорему: якщо ділиться на , то ділиться також і на .

Доведення.

Якщо ділиться на , то і, отже, ділиться на , звідки випливає, що ділиться на .

 

15.10. Довести, що многочлен третього степеня незвідний, якщо він не має раціональних коренів.

 

Доведення

Звідний многочлен третього степеня має множник першого степеня з раціональними коефіцієнтами, том він має раціональний корінь.

 

15.11. Знайти необхідні і достатні умови незвідності многочлена з раціональними (можуть бути дробовими) коефіцієнтами.

Доведення.

Без порушення загальності можна шукати умови, при яких розкладається на множники другого степеня з раціональними коефіцієнтами, бо якщо многочлен має раціональний корінь , то буде також раціональним коренем і лінійні множники, які їм відповідають можна об’єднати.

Нехай .

Тоді

Якщо , то і . У цьому випадку для існування раціональних і необхідно і достатньо, щоб дискримінант був квадратом раціонального числа.

Нехай , тоді , і далі . Отже для звідності многочлена необхідно і достатньо виконання однієї з двох умов:

1) є квадратом раціонального числа;

2) є квадратом раціонального числа є квадрат раціонального числа .

 

15.12. Довести, що корені многочлена з дійсними або комплексними коефіцієнтами не перевищують по модулю: .

Доведення

. Нехай . Тоді при

при .

 

15.13. Довести, що якщо ряд Штурма містить многочлени всіх степенів від нульового до -го, до число змін знаку в ряді старших коефіцієнтів многочленів Штурма дорівнюють кількості пар спряжених комплексних коефіцієнтів даного многочлена.

 

Доведення

Нехай і два сусідніх многочлена „повного” ряду Штурма. Якщо їх старші

коефіцієнти мають однакові знаки, то їх значення при не утворюють зміни знаку, а значення при дають зміну знаку, так як степінь одного з многочленів парний, а степінь другого – не парний. Якщо ж старші коефіцієнти мають протилежні знаки, то значення і при дають зміну знаку, а при - не дають. Тому, позначивши через та число змін знаку в ряді Штурма при , маємо, що . З іншого боку, дорівнює числу дійсних коренів многочлена. Отже. , що і треба було довести.

 

15.14. Довести, що якщо - сторони трикутника, то корені рівняння уявні.

 

Доведення.

За умовою . Квадратне рівняння має уявні корені тоді і тільки тоді, коли його дискримінант від’ємний . Знайдемо його:

Так як сума двох сторін трикутника більша за третю, то вирази в перших трьох дужках додатні , а четвертих дужках вираз від’ємний. Отже, і корені даного рівняння уявні.

 

§ 16. Нестандартні задачі

 

16.1. Знайти всі значення , при яких корені многочлена задовольняють рівність

 

Розв’язання.

Введемо заміну

Тоді числа є коренями многочлена

За теоремою Вієта:

Справедлива тотожність:

з якої отримуємо необхідну і достатню умову для :

тобто

 

16.2. Знайти всі многочлени з дійсними коефіцієнтами, для яких при всіх дійсних значеннях одночасно виконуються дві нерівності:

 

Розв’язання.

Розглянемо многочлен Він обмежений при числом 1997, тому - лінійний многочлен, Отже, має бути звідки . Тому

 

16.3. Знайти ненульові многочлени такі, що .

 

Розв’язання.

Нехай . Припустимо,що хоча б один з відмінний від нуля. Виберемо

де .
Тоді .

Прирівнюючи коефіцієнти при , отримаємо , яке протирічить умові , . Отже, . За умовою отримуємо, що . Тому

 

16.4. Знайти ненульові многочлени такі, що .

 

 

Розв’язання.

Позначимо Тоді маємо

а початкова тотожність записується як тобто з точністю до позначень співпадає з тотожністю з попередньої задачі. Тому

 

16.5. Знайти всі дійсні функції такі, що .

 

Розв’язання.

При буде . Підставляємо тепер : в першому випадку , в другому - . Перевіркою переконуємося, що обидві функції підходять. Отже,

 

16.6. Для заданих знайти всі значення, які многочлен набуває при .

 

Розв’язання.

Функція має на графіку одну точку мінімуму . При функція спадає, а при - зростає. Тому для множини значень даної функції на маємо: якщо , то ; якщо , то

, тобто , при , при ; якщо , то
.

16.7. Представити у вигляді двох квадратів многочлен .

 

Розв’язання.

 

16.8. Розкласти на множники многочлен .

 

Розв’язання.

 

16.9. Скласти рівняння за його коренями , .

 

Розв’язання.

Коефіцієнт при першому степені невідомого рівний

.

Вільний член рівний .

Шукане рівняння має вигляд .

 

16.10. і - корені рівняння . Знайти , щоб величина була мінімальною.

Розв’язання.

.

Отриманий вираз матиме мінімальне значення при .

 

16.11. Розв’язати рівняння .

 

Розв’язання.

Заміна

Маємо . Тому коефіцієнти рівняння .

Тоді

.

Отже .

 

16.12. Визначити число дійсних коренів многочлена , якщо .

 

Розв’язання.

Для цього треба знайти . Нехай

Отже, має дійсні корені в проміжках

 

 

§ 17. Задачі для самостійного розв’язання

 

 

1) Знайти всі дійсні розв’язки рівняння

2) Нехай і два з чотирьох коренів многочлена . Довести, що – корінь многочлена .

3) Дано має два різних кореня на проміжку . Довести, що . Знайти, хоча б одну пару і при .

4) Знайти многочлени такі, що і

5) Знайти всі при яких многочлен набувають значень, рівних квадратам простих чисел.

6) Довести, що дана система не має розв’язку у полі цілих чисел

7) Розкласти на множники многочлен .

8) Рівняння з раціональними коефіцієнтами має корінь . Знайти другий корінь рівняння.

9) Довести, що корені рівняння при - дійсні числа. З’ясувати знаки коренів.

10) Довести, що якщо , то .

11) Розв’язати рівняння .

12) Розв’язати в полі натуральних чисел .

Словничок термінів

А

Алгебраїчна рівність многочленів – див. рівність многочленів.

Алгебраїчним розширенням поля Р називається розширення поля , якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля Р.

Алгебраїчним числом відносно поля Р називається число α, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем .

Алгебраїчно замкненимназивається поле , яке є полем розкладу будь-якого многочлена .

Алгоритм Евкліда:

маємо многочлени і , причому deg deg . Виконаємо послідовне ділення:

 

= +

= +

= +

…

= +

=

 

Остання відмінна від нуля остача у цій системі рівностей і є НСД многочленів і .

Асоційованими називаються многочлени і з кільці , якщо вони відрізняються лише множником, який є відмінною від нуля константою: ).

 

В

Взаємно простими називаються многочлени і , якщо їх спільний дільник є многочлен нульового степеня: ( , ) = 1.

Вільним (нульовим) членом многочлена називається елемент _.

Д

Ділення націло:многочлен ділиться націло на

( записується ), якщо існує многочлен такий, що

.

Дискримінантом многочлена називається вираз , де - результант і його похідної .

· При цьому справджується рівність: ,

де корені .

Дискримінантом рівняння третього степеня з комплексними коефіцієнтами , яке за допомогою підстановки зводиться до виду , називається число .

Добутком многочленів

називається многочлен , де , , тобто .

Е

Елементарним дробом у полі Р називається раціональний дріб

виду , де - незвідний многочлен у полі Р, і , а – будь-яке натуральне число.

З

Звідним (складеним) у полі Р називається многочлен

, якщо deg f 1 і в кільці Р[x] існують многочлени f(x) i g(x), такі, що i , такі, що

= , deg g 1 і deg s 1.

Звідним у полі Р називається многочлен від n змінних , якщо і .

Значенням многочлена при R,називається елемент з кільця R і позначається , якщо многочлен R[x] має канонічну форму.

 

І

Інтерполяційним многочленом Лагранжа називають многочлен виду:

 

(1)

 

Нехай – деяке поле, - різні елементи поля і - довільні елементи поля . Існує один і тільки один многочлен в кільці [x], степінь якого не перевищує і який набуває в ( )-й точці задані значення ,

Шуканий многочлен має вигляд (1).

Інтерполяційним многочленом Ньютонаназивають многочлен виду:

(2)

 

Іноді доцільно многочлен (1) записувати у вигляді (2), де коефіцієнти визначаються послідовним підставленням значень .

К

Канонічним розкладом многочлена у полі Р[x]називається подання довільного многочлена ненульового степеня над полем у вигляді , де – попарно різні (неасоційовні) многочлени, незвідні у полі Р[x]. Це зображення єдине з точністю до сталих множників і їх нумерації.

Канонічною формою многочлена f (x) називається упорядкування його членів за спаданням степеня .

Квадратичним розширенням поля Рназивається просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням до нього числа α, яке є коренем квадратного тричлена над полем і не належить полю .

k-тим членом або членом k-го степеня многочлена називається вираз (к = ).

Кількістю змін знаків даної послідовності називається кількість пар сусідніх чисел деякої впорядкованої послідовності дійсних чисел , які мають протилежні знаки.

Кільцем многочленів від змінних над областю цілісності Rназивається кільце многочленів від однієї змінної над кільцем , тобто = .

Коефіцієнтом k-го члена многочлена від

n змінних є елемент .

Коренем многочлена f (х)називається число , якщо = 0.

Кратним множником називають множник, кратність якого більша за 1. Якщо многочлен входить у канонічний розклад у степені з показником , то кажуть, що є множником кратності многочлена .

Кратний корінь– це корінь, кратність якого більша за 1.

 

Л

Лінійним представленням НСД є запис виду: ,

де і – деякі многочлени з [x], а - НСД двох многочленів

i [x].

Лексикографічним записомназивається відношення “бути вищим” на множині членів многочленів, що є лінійним строгим порядком.

 

Нехай і - два члени многочлена .Вважається, що перший елемент вищий від другого, якщо (позначають ).

 

М

Мінімальним полем Р{M}, що містить дану числову множину М, називається поле, яке є перетином усіх числових полів, що містять

множину М.

Многочленом (поліномом) від однієї змінної над областю цілісності R називається вираз виду
, де

- довільне ціле невід’ємне число,

– елементи R,

– деякі символи;

- k-ий степінь змінної ,

- k-ий коефіцієнт многочлена або коефіцієнт при (k= ).

Многочленом від змінних над називаєтьсякожний елемент кільця і позначається , і т.д.

 

Н

Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) і g(x) називається їх спільне кратне, на яке ділиться кожне спільне кратне цих многочленів. Позначається так: [ ].

Найбільшим спільним дільником (НСД) називається спільний дільник многочленів і , який ділиться на кожен інший спільний дільник і і позначається ( ).

Незвідним (нерозкладним, простим) називається многочлен , якщо він не є константа і не має дільників, відмінних від константи і від многочлена виду , де - константа.

Незвідним у полі Р називається многочлен від змінних, якщо і .

Неправильним називається раціональний дріб , якщо степінь більша за степінь .

Нуль - многочленом над R називають елемент R, який вважаємо константою і многочленом, і позначаємо , тобто
= 0.

 

О

Область цілісності – це комутативне кільце з 1 без дільників нуля ( R[x] - сукупність всіх многочленів над областю цілісності ).

Однорідним називається многочлен у якого всі члени многочлена мають однакову степінь.

 

П

Подібними називаються два члени многочлена, які відрізняються тільки коефіцієнтами.

Полем розкладу многочленаназивається поле , де розкладається на лінійні множники.

Полем розкладу многочлена від n зміннихназивається поле Р, якщо розкладається в на лінійні множники.

Похідною від многочлена називається многочлен . Похідна від нуль - многочлена дорівнює нулю.

Правильним називається раціональний дріб , якщо степінь менша за степінь .

Примітивним (відносно S) називається многочлен , якщо НСД його коефіцієнтів дорівнює одиниці.

Простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням поля Рназивається поле , утворене приєднанням до поля числа α, алгебраїчного (трансцендентного) відносно поля .

Простий многочлен див. незвідний многочлен.

Простими називаються корені кратності 1.

Р

Результантом многочленів і називається вираз виду

, де і - многочлени над полем , і - корені .

Рівними між собою називаються многочлени і ( = ), якщо їх канонічні форми збігаються : мають однакові степені і попарно рівні відповідні коефіцієнти ( алгебраїчна рівність многочленів).

Розклад многочлена ненульового степеня над полем на незвідні множники у полі -це представлення його у вигляді , де всі є незвідними многочленами у полі . Це зображення єдине з точністю до сталих множників і до порядку нумерації многочленів .

 

С

Симетричним відносно змінних називається многочлен , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен рівний даному.

Скінченим розширенням поля P називається поле , якщо в ньому існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами зполя : . Система - базис поля відносно поля .

Складений многочлен – див. незвідний многочлен.

Складним розширенням поля Рназивається розширення , якщо існує такий ланцюжок розширень , що , причому кожне α_i є алгебраїчним числом над полем (при ).

Спільним кратним многочленів f(x) і g(x) Р[x] називають будь-який многочлен Р[x] такий, що .

Спільним дільником f(x) i g(x)називається многочлен , який є дільником многочлена і многочлена одночасно.

Старшим членом многочлена є відмінний від нуля член многочлена, степінь якого більший за степінь усіх інших, відмінних від нуля членів цього многочлена. його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом многочлена, а його степінь – степенем многочлена.

Степенем члена многочлена від n змінних називається сума . Число називається степенем даного члена відносно . Найбільший із степенів членів називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – старшим членом многочлена.

Сумою многочленів

називають многочлен

 

Т

Трансцендентним відносно поля Рназивається число, яке не є алгебраїчним відносно поля .

 

Ф

Функціональна рівність многочленів: кожен многочлен R[x] визначає відображення j_f = R®R таке, що j_f ( ) = . Якщо область цілісності R має характеристику 0, то многочлени і R[x] рівні тоді і тільки тоді, коли рівні функції j_f і j_g, які вони визначають.

 

Ч

Членом многочлена називається кожен доданок в су