Здавалка
Главная | Обратная связь

Потік з повторними викликами



ППВ складається з потоку первинних викликів (найпростішого, нестаціонарного пуассонівського або примітивного) та потоку повторних викликів, параметр якого визначається кількістю джерел, які повторюють виклики:

lj = b j (2.34)

де j – число джерел, які повторюють виклики,

b - інтенсивність такого джерела.

Параметр загального потоку, якщо потік первинних викликів примітивний:

lij = a(N – i - j)+ b j (2.35)

Якщо b = a , то (2.35) переходить в (2.30), тобто маємо звичайний примітивний потік:

lij = a(N – i - j) + bj = a(N – i) - a j + b j = a(N – i)

Але зазвичай, b >> a, (для телефонної мережі у 50 – 100 разів), в потоці повторних викликів більше коротких інтервалів z між викликами, що збільшує дисперсію потоку та число втрачених викликів (як первинних, так і повторних). Причому існує тісна кореляція між величиною z та станом обслуговуючої системи: чим більше зайнято ліній, тим більше джерел повторюють виклики, зменшуючи інтервал між ними z. Ця обставина призводить до зростання втрат.

При аналізі загального вхідного потоку викликів іноді доцільно відокремити повторні виклики від первинних, а також оцінити величини a і b. Як тільки що було зазначено, повторні виклики мають коротші інтервали z, отже саме величину z можна використовувати як ознаку потоку повторних викликів.

Нехай досліджується потік викликів від N джерел і відомі момент надходження кожного виклику та номер джерела, що його надіслало. Задамося граничиним значенням zГ. Якщо для деякого виклику значення z ≤ zГ, вважатимемо його повторним, інакше – первинним. Значення zГ слід вибирати таким чином, щоб первинні виклики утворювали потік, близький за своїми властивостями до найпростішого або примітивного (залежно від значення N). Така процедура використовувалась на практиці і дала добрі результати [1].

 

Потік звільнень

Послідовність моментів закінчення обслуговування викликів дає потік звільнень. Його властивості у загальному випадку залежать від властивостей потоку, що надходить, якості роботи СМО і закону розподілу часу обслуговування.

Найпростіший і найбільш розповсюджений закон розподілу часу обслуговування – це експоненціальний:

(2.36)

де h—середній час обслуговування.

Рисунок 2.3, на якому показано результати вимірювання часу зайняття абонентської лінії на АТС, підтверджує практичну прийнятність екпоненціальної моделі.

Рис.2.3 – Гістограми вимірювань часу зайнять при h= 60,3 с, s = 84,4 та розмов при h = 81,2 с, s = 90,1

Основна властивість експоненціального розподілу зумовлює повну незалежність моментів закінчення обслуговування від моментів початку обслуговування викликів, що надходять. Тому властивості потоку звільнень в цьому випадку не залежать від властивостей потоку, що надходить, та якості роботи СМО, а повністю визначаються числом зайнятих каналів. Якщо в СМО зайнято k каналів (k викликів знаходяться на обслуговуванні), то імовірність звільнення i каналів за час t можна розглядати як i успішних випробувань із загального числа k незалежних випробувань и визначити згідно розподілу Бернуллі

де р імовірність звільнення одного каналу за час t.

Враховуючи (2.36), маємо:

(2.37)

Імовірність того, що за час t не звільниться жоден з зайнятих каналів,

(2.38),

а імовірність того, що звільниться хоча б один канал

(2.39)

Згідно визначенню (2.4), параметр потоку звільнень при зайнятості k каналів

(2.40)

Імовірність знаходимо з (2.39) з урахуванням розкладення функції в ряд :

(2.41)

Тоді

(2.42)

Аналогічно, досліджуючи імовірність звільнення не менш двох ліній за малий інтервал Δt, отримуємо, що . Таким чином, потік звільнень є ординарним і його параметр пропорційний числу зайнятих ліній (джерел). Коефіцієнтом пропорціональності служить величина, зворотна середньому часу обслуговування, котру можна інтерпретувати як інтенсивність джерела у зайнятому стані. Отже, потік звільненьза своїми властивостями подібний примітивному потоку.

Але, якщо комутаційна система працює так, що звільнена лінія негайно займається новим викликом, потік звільнень має постійний параметр v/h (де v- загальне число ліній в системі) і є найпростішим. В цьому випадку імовірність звільнення i каналів за час t обчислюється за формулою Пуассона:

(2.43)

В ТТ для спрощення розрахункових формул величина h - середній час обслуговування - приймається за умовну одиницю часу (у.о.ч.)

Приклад 2.8.

В системі зайнято 30 каналів. Час зайнятості кожного розподілено за експоненціальним законом з h = 60 с. Визначити імовірність того, що за час t = 6 c: 1) жоден канал не звільниться, 2) хоча б один канал звільниться.

Рішення

1) імовірність того, що жоден канал не звільниться – визначаємо за формулою (2.38)

P0 = e-kt/h = e-30*6/60= e-3 = 0.05

2) імовірність того, що хоча б один канал звільниться - визначаємо за формулою (2.39)

P³1 = 1 – e-3 = 0.95

Приклад 2.9.

CМО працює так, що в ній зайнято усі 10 каналів і після звільнення кожний негайно займається новим викликом. Час зайнятості каналу розподілено за експоненціальним законом з h = 300 с. Визначити імовірність того, що за час t = 1 хв не звільниться жодна лінія.

Рішення:

h = 300 с = 5 хв

за формулою (2.43) P0(1) = e-10*1/5 = e-2 = 0.135

Приклад 2.10.

Лічильник дзвінків абонента видає один імпульс на початку дзвінка, а потім імпульс кожні 3 хвилини, поки триває розмова. Вважаємо, що тривалість розмови розподілено за експоненціальним законом із середнім значенням 3 хвилини. Знайти долю усіх розмов, для яких лічильник видасть:

a) рівно 2 імпульси;

b) менше, чим 2 імпульси;

c) більше, чим 2 імпульси;

d) не менше, чим 2 імпульси;

e) не більше, чим 2 імпульси

Рішення:

Закон розподілу для тривалості розмови має вигляд:

F(t) = 1 – e-λt = 1 – e-t/3

a) рівно 2 імпульси буде, якщо 3 ≤ t < 6

P{3 ≤ t < 6} = F(6) – F(3) = 1 – e-6/3 – (1 – e-3/3) = e-1 - e-2 = 0,3679 – 0,1353 = 0,2326

b) менше, чим 2 імпульси буде, якщо t < 3

P{t < 3} = F(3) - F(-∞) = 1 – e-3/3 – 0 = 1 - e-1 = 0,6321

c) більше, чим 2 імпульси буде, якщо t ≥ 6

P{ t ≥ 6} = F(∞) - F(6) = 1 – (1 – e-6/3) = e-2 = 0,1353

d) не менше, чим 2 імпульси буде, якщо t ≥ 3

P{ t ≥ 3} = F(∞) - F(3) = 1 – (1 – e-3/3) = e-3 = 0,3679

e) не більше, чим 2 імпульси буде, якщо t < 6

P{t < 6} = F(6) - F(-∞) = 1 – e-6/3 – 0 = 1 - e-2 = 0,8647

Приклад 2.11.

По з’єднувальній лінії між пунктами А і В середня тривалість розмови для викликів А → В 4 хвилини, а для В → А – 3 хвилини. Для обох випадків можна прийняти експоненціальний розподіл. Виклики А → В складають 55 % викликів. Знайдіть імовірність того, що деяка розмова буде тривати довше, ніж 6 хвилин.

Рішення:

Подія, яка нас цікавить: “деяка розмова буде тривати довше, ніж 6 хвилин” може відбутися у двох незалежних випадках:

1. Розмова відбувається у напрямку А → В і триває довше 6 хвилин. Імовірність цієї сумісної події

P А → В* P{t > 6/А → В} = 0,55 * e-6/4 = 0,55*0,2231

2. Розмова відбувається у напрямку В → А

P B → A* P{t > 6/B → A} = 0,45 * e-6/3 = 0,45*0,1353

Загальна імовірність дорівнює сумі

P = 0,184







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.