 |
|
Імовірність зайнятості визначених каналів
Знайдемо тепер імовірність зайняття визначених, заздалегідь обраних каналів обслуговування. Ця задача часто зустрічається при визначенні навантаження на певні виходи в комутаторах телефонних мереж, особливо при неповнодоступному включенні або при визначені способу зайняття каналів. Будемо виходити з того, що в результаті використання моделей Ерланга (Енгсета або Бернулі) знайдені імовірності зайняття будь-яких k ліній Рk .
Зафіксуємо певні i каналів з vдоступних. Вважаємо, що зайняття каналів відбувається рівноімовірно. Тоді якщо в системі з імовірністю Pi+j зайнято рівно i+j каналів, то імовірність зайнятості однієї конкретної комбінації буде менше в число сполучень з v по i+j , тобто 
Оскількі зафіксовані i каналів можуть бути зайняті сумісно з будь-якими іншими j каналами у відповідних кількості сполучень з vпо j комбінаціях, де j ‑ будь-яке число від 0 до v-i , то можна отримати формулу для імовірності зайняття фіксованих iканалів в системі з втратами:
(5.33)
Для системи M/M/v/L (модель Ерланга) тоді отримаєм:
(5.34)
Для системи Mі/M/v/L (модель Енгсета) формула буде відрізнятися:
(5.35)
У формулі (5.35) N – кількість джерел викликів у примітивному потоці, α – інтенсивність одного джерела, виражена в ерлангах.
Для системи Mі/M/v/LL з однаковим числом входів і виходів (джерел викликів та каналів обслуговування) має місце модель Бернуллі та формула:
(5.36)
5.7 Порівняння моделей M/M/v/L та Mi/M/v/L для рішення задачі структурного синтезу
Розглянемо вузол мережі з комутацією каналів, наприклад телефонної мережі загального користування. Це може бути транзитна АТС, яка комутує з’єднувальні лінії різних напрямків, кінцева АТС, вхідні лінії якої є як з’єднувальними, так і абонентськими. Це може бути також відомча АТС або виносний концентратор міської станції.
Як було показано вище, моделлю такого вузла є система масового обслуговування з втратами, причому час обслуговування можна вважати розподіленим за експоненціональним законом (рис.2.3).
Вважатимемо, що комутатор має Nвхадних та v вихідних ліній.
Опишемо потік викликів наступними параметрами. Нехай кожний абонент в середньому здійснює 1 виклик що 30 хвилин, занімаючи лінію в середньому на 3 хвилини.
Приймемо загальне число абонентів N= 120. Основною задачею при проектуванні є визначення числа v вихідних ліній, достатнього для забезпечення заданого рівня якості обслуговування – тобто задача структурного синтезу.
Для систем з втратами найважливішою характеристикою якості є імовірність втрат за часом (п.3.4).
Одним з підходів до рішення задачі структурного синтезу в цьому випадку може бути використання моделі Ерланга, тобто системи M/M/v/L.
Будемо розглядати усі виклики, що надходять від абонентів, як загальний найпростіший потік з параметром:
λ = N*α = 120 * 1/30 = 4 викл/хв.
Знайдемо вхідне навантаження:
Λ = λ*h = 4 * 3 = 12 Ерл
Скориставшись першою формулою Ерланга (5.6), можна знайти наступні значення імовірність втрат (або блокування) при різній кількості вихідних ліній для розрахованого навантаження:
| РВ,% | v | Λ/v |
| 0.6 | ||
| 0.7 | ||
| 0.8 | ||
| 1.0 | ||
| 1.7 |
При помірних навантаженнях (5 Ерл< Λ <50 Ерл), можна користуватися наближеними формулами:
РВ = 1 %, v = 5,5 + 1,17 Λ
РВ = 0,1 %, v = 7,8 + 1,28 Λ
Іншим підходом є використання моделі Енгсета, тобто вхідний потік розглядається як примітивний. При цьому імовірність блокування знаходиться за формулою Енгсета (5.24) як значення функції ξ(N,v,α). Врахуємо, що α=0,1Ерл.
Знайдемо кілька значень цієї функції.
| РВ, % | v | N α/v |
| 0.7 | ||
| 0.75 | ||
| 0.86 | ||
| 1.1 | ||
| 1.3 |
Як видно з вищенаведених таблиць, різниця у використанні моделей Ерланга й Енгсета несуттєва при незначному питомому вхідному навантаженні, розходження стають помітними лише для великих значень. Звичайно на практиці розглядаються пучки вихідних каналів, причому виклики на кожний з пучків вважають найпростішими потоками. Відповідно, до кожного пучка приміняють формулу Ерланга. А імовірності станів цих пучків описують розподілом Енгсета.
5.8 Контрольні питання
1. Що характеризує перший розподіл та перша формула Ерланга?
2. Які максимуми має перший розподіл Ерланга?
3. Від чого залежить імовірність втрати виклику в системі M/M/v/L?
4. Чому дорівнює обслуговане навантаження в системі M/M/v/L?
5. Чому дорівнює потенційне навантаження в системі M/M/v/L?
6. Чому дорівнює надлишкове навантаження в системі M/M/v/L?
7. Чому дорівнює втрачене навантаження в системі M/M/v/L?
8. Навести приклад задачі структурного синтезу системи з втратами.
9. Навести приклад задачі параметричного синтезу системи з втратами.
10. Від чого залежить пропускна здатність 1 каналу в системі M/M/v/L//S?
11. Від чого залежить пропускна здатність 1 каналу в системі M/M/v/L//R?
12. Для якого типу зайняття каналів пропускна здатність 1 каналу в системі з втратами не змінюється при збільшенні числа каналів?
13. Для якого типу зайняття каналів пропускна здатність 1 каналу в системі з втратами не залежить від номеру каналу?
5.9 Завдання для самостійної роботи
1. Розрахувати долю втрачених викликів в системі M/M/4/L при L = 2 Ерл.
2. Розрахувати долю простою в системі M/M/2/L при L = 1 Ерл.
3. Визначити h1 при випадковому і послідовному занятті каналів в системі M/M/3/L. l= 180 викл/год, h = 20c.
4. В системі М/М/50/L//R в середньому зайнято 35 каналів. Визначити пропускну здатність одного каналу.
5. Визначити пропускну здатність першого каналу і імовірність заняття 1 каналу в системі M/M/4/L//S. l= 120 викл/год, h = 30c.
6. Який середній час обслуговування має бути в системі M/M/1/L, щоб при обслуговуванні потоку з параметром 10 викл/хв в ній втрачалось щонайбільше 5 % викликів?
7. Яку кількість каналів зайнято з максимальною імовірністю в системі M/M/3/L, якщо виклики надходять у систему, в середньому, через 10 с і обслуговуються, в середньому, 20 с?
6 СМО з очікуванням.