 |
|
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Рівняння 
, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.
Спосіб розв’язку такого диференціального рівняння полягає в тому, що заміною функції 
воно зводиться до розгляду двох рівнянь, які допускають відокремлення змінних.
Задача 9.3. Роз’вязати рівняння:
.
Розв’язання. Виходячи з запису лінійного диференціального рівняння в загальному вигляді:
,
приходимо до висновку, що диференціальне рівняння, яке запропоновано до розв’язку, є лінійним. Тому вводимо до розгляду
.
Тоді
.
Будемо мати, що
;
.
Розглянемо розв’язок рівняння 
.
Маємо
; 
; 
.
Розглянемо розв’язок другого рівняння
; 
; 
;
.
Значить розв’язок заданого лінійного диференціального рівняння має вигляд
.
Способи розв’язання звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають пониження порядку.
Розв’язання диференціальних рівнянь вищих порядків, які допускають зниження порядку, пов’язаний з тим чи іншим типом таких рівнянь:
1. Рівняння n-го порядку 
. Спосіб розв’язання таких рівнянь полягає в послідовному інтегруванні.
Задача 9.4. Визначити інтеграл рівняння 
.
Розв’язання. Задане рівняння відноситься до типу 
.
Домножимо ліву та праву частину на dx, та інтегруємо:
; 
;
; 
.
2. Рівняння другого порядку 
, де відсутня функція 
.
Спосіб розв’язання такого рівняння полягає в тому, що вводиться до розгляду змінна 
, а тоді маємо, що 
.
Задача 9.5. Визначити інтеграл рівняння 
.
Ров’язання. У відповідності до зазначеного вище способу їх розв’язання маємо, що:
;
а тоді:
.
Це рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку відносно функції Р(х). Тоді
; 
;
;
,
та
Визначимо функцію Р(х). Маємо 
.
Тоді:
;
.
3. Рівняння другого порядку 
, де не міститься змінна х.
Спосіб розв’язання цього рівняння полягає в тому, що вводиться до розгляду функція, яка залежить від змінної у, тобто 
. Тоді 
.
Задача 9.6. Визначити інтеграл рівняння 
.
Розв’язання. Маємо:
; 
;
;
; 
; 
;
.
Значить:
;
.