Область сходимости степенного ряда.

Функциональный ряд

, где - вещественные коэффициенты, - фиксированное вещественное число, называется степенным рядом (по степеням ).

Заменяя: , приходим к ряду , поэтому обычно будем рассматривать (1) – степенной ряд по степеням .

Изучим область сходимости ряда (1). Ясно, что при сходится любой степенной ряд (1) к сумме . Существуют степенные ряды, которые не сходятся ни в какой другой точке, кроме .

Пример 1: .

По признаку Коши: ряд расходится при всех .

Существуют ряды, сходящиеся при .

Пример 2: .

, ряд сходится .

Существуют степенные ряды, которые сходятся при одних значениях и расходятся при других значениях .

Уточнить область сходимости поможет:

Теорема 29 (Абеля)Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении , то он сходится и притом абсолютно при всех значениях , для которых , т.е. в интервале .

Если же ряд (1) расходится при некотором , то он расходится при всех , для которых , т.е. на интервалах , .

Доказательство:
1) Пусть ряд (1) сходится в точке , тогда [последовательность ограничена] .

Рассмотрим ряд в точке , для которого .

но геометрический ряд при сходится сходится и ряд , а это означает абсолютную сходимость ряда (1).

2) Если ряд (1) расходится в некоторой точке , то при ряд не может сходиться в точке , иначе, по доказанному, он бы сходился в точке с меньшим модулем.

Теорема 30 (об интервале сходимости степенного ряда). Для каждого степенного ряда (1) существует такое число R, , что в интервале ряд (1) сходится абсолютно, а вне интервала расходится.

Доказательство:

I. Если ряд сходится только в точке , то можно считать, что есть интервал при .

Причем, сходимость в точке абсолютная ( - сходится к ), поэтому в этом случае утверждение теоремы верно.

II. Пусть существуют точки сходимости, отличные от 0, обозначим такие точки через . Возьмем ( всегда существует, конечный или бесконечный).

По условию имеется хотя бы одно . Для него (т.к. ). Поэтому тем более .

Рассмотрим интервал . Для него найдется такая точка , что , т.к. в противном случае было бы: вместо на интервале но С есть точка сходимости, отличная от 0 и согласно теореме Абеля неравенство: влечет абсолютную сходимость в точке .

Таким образом в ряд абсолютно сходится.

Если (это возможно только при ), то не может быть точкой сходимости, т.к. для точек сходимости С должно быть .

Следовательно, вне интервала ряд расходится. Интервал называется интервалом сходимости, а число радиусом сходимости степенного ряда.

В точках и по отдельности ряд (1) может сходиться (абсолютно или неабсолютно) или расходиться.

Таким образом получается:

Теорема 31 (об области сходимости степенного ряда). Область сходимости степенного ряда (1) есть его интервал сходимости возможно с добавлением одного или обоих его концов.

Замечания:
1) Для степенного ряда общего вида интервал сходимости имеет вид , т.к. заменой приходим к ряду с интервалом сходимости и неравенства .

2) Множество точек, в которых произвольный функциональный ряд абсолютно сходится, называется областью абсолютной сходимости.

Для степенного согласно теореме 31 оказывается, что область абсолютной сходимости совпадает с областью простой сходимости, с точностью до границ интервалов сходимости (на этих границах сходимость может быть неабсолютной).

Интервал сходимости можно найти, применяя признак Даламбера или радикальный признак Коши (если соответствующие пределы существуют). Дополнительно исследовав сходимость на концах интервала, можно установить область сходимости ряда (1).

Пример: Найти область сходимости степенного ряда .