Задача разложения функции в степенной ряд. Единственность разложения. Формула Тейлора.
Говорят, что данная функция разлагается в степенной ряд в окрестности данной точки , если в некоторой окрестности этой точки представима в виде суммы степенного ряда по степеням : (1). Это значит, что: 1. в некоторой (хотя бы малой) окрестности ряд (1) сходится. 2. сумма ряда (1) во всех точках этой окрестности совпадают с данной функцией: . В частности, при имеем: разложение в степенной ряд в окрестности нуля по степеням . Разложение функции в степенной ряд облегчает приближенные вычисления значений функции с заданной точностью. Именно: значение с любой заданной точностью можно заменить на частную сумму степенного ряда. , а - это многочлен и при его вычислении используются только операции сложения, вычитания и умножения. В результате, значения самых различных функций (показательных, логарифмических, тригонометрических, …) вычисляются с помощью одних только этих операций. Ясно, что ряд (1) можно написать, если заданы коэффициенты , т.е. степенной ряд вполне определяется заданием точки и набора коэффициентов . Одна и та же функция может быть разложена в окрестностях различных точек в различные степенные ряды. Например:
Это будут различные степенные ряды, имеющие различные наборы коэффициентов: и . Но оказывается, что если разлагается в степенной ряд в окрестности одной точки , то такой ряд единственный, т.е. каким бы способом ни была разложена в степенной ряд в окрестности точки , получившийся ряд имеет всегда один и тот же набор коэффициентов. Это свойство называется единственностью разложения в степенной ряд. Теорема 35 (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд, то это разложение единственно. Доказательство: Пусть функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки : (1), тогда по теореме 33 как сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема на этом интервале, причем ее -я производная равна:
В частности, при : Т.о. для всех (2) . Итак, если имеет место разложения (1), то коэффициенты обязаны равняться числам , из-за этого возможен только единственный набор таких коэффициентов.¨ Если функция бесконечно дифференцируема в какой-либо точке , то вычислив значения , можно составить набор чисел . Степенной ряд по степеням , коэффициенты которого вычислены через значения данной функции и ее производных в точке по формуле (2), т.е. ряд называется рядом Тейлора данной функции в окрестности точки (независимо от того, будет ли суммой этого ряда или не будет). Ряд Тейлора в окрестности 0: называется рядом Маклорена функции . Если оказывается суммой своего ряда Тейлора, то вместо знака "~" пишут "=". Теперь можно сформулировать следствие из теоремы. Следствие: Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора этой функции. Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности некоторой точки , то вычислив значения можно всегда формально написать ряд Тейлора функции в окрестности . Однако такой ряд не обязательно сходится к функции , породившей этот ряд. Во-первых, может оказаться, что в каких-либо точках области определения функции ряд Тейлора расходится. Во-вторых, если даже ряд Тейлора сходится во всей области определения функции , может оказаться, что его сумма не совпадает с данной функцией . Примеры: 2)
бесконечно дифференцируема при всех , в том числе и при . : И вообще: , где - некоторый многочлен относительно , . (здесь - не степень многочлена, а порядковый номер). Это можно доказать методом математической индукции. : ; Докажем методом математической индукции что при любом . Предположим, что , тогда . Значит при любом . . Ряд Тейлора для в окрестности 0: имеет сумму на . Но только в одной точке , следовательно ни в какой окрестности 0 не совпадает с т.е. не смотря на то, что бесконечно дифференцируема в окрестности 0. Она не является суммой своего ряда Тейлора, значит не разлагается в степенной ряд в окрестности 0. Основную роль в исследовании условий разложимостити функции в степенной ряд будет играть формула Тейлора. Формула Тейлора. Вопрос о разложимости в степенной ряд наиболее просто решается в случае когда есть многочлен. Каждый многочлен разлагается в степенной ряд в окрестности любой т. на всем интервале . Пусть, например, – многочлен степени. При имеем ; после возведения скобки в указанные степени и приведения подобных, получим требуемое разложение: на . Согласно теореме 35 (о единственности разложения) коэффициенты должны равняться числам . Поэтому . Это разложение многочлена называется формулой Тейлора для многочлена (число членов конечно, поэтому употребляется слово «формула» вместо слова «ряд»). Если не многочлен, но имеет в окрестности производные до порядка, то, вычислив числа можно составить многочлен: – многочлен Тейлора для . Он отличается от на некоторую величину : (1) Это формула Тейлора для функции в окрестности точки ;. называется остаточным членом формулы Тейлора. Остаточный член может иметь различный вид для различных функций, но замечательно то, что если имеет еще и производную, то остаточный член выражается через производную. Теорема 36 (о формах остаточного члена). Если имеет в некоторой окрестности точки непрерывные производные до порядка включительно, то при всех : Доказательство: Поскольку на интервале существуют непрерывные производные: , то тоже имеет непрерывные производные: (т.к. выражается через ). ; ( ) ; … ; . В частности: . С учетом этих равенств получим: (все на отрезке непрерывны, поэтому все интегралы с их участием существуют)= и формула (1) доказана. Формулы (2) и (3) выведем из (1), используя обобщенную теорему о среднем для определенного интеграла. 2) Пусть , по условию . Тогда , кроме того на отрезке . Поэтому , где . . Здесь , обозначим , поскольку всегда и - одного знака, то отношение . Кроме того , т.е. и можно взять отсюда . Подставляя, получим: . Формула 2) доказана. 3) Пусть (тоже сохраняет знак), тогда . . Заметим: , ; . Итак: – формула 3) доказана.¨ ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|