Задача разложения функции в степенной ряд. Единственность разложения. Формула Тейлора.

Говорят, что данная функция разлагается в степенной ряд в окрестности данной точки , если в некоторой окрестности этой точки представима в виде суммы степенного ряда по степеням : (1). Это значит, что:

1. в некоторой (хотя бы малой) окрестности ряд (1) сходится.

2. сумма ряда (1) во всех точках этой окрестности совпадают с данной функцией: .

В частности, при имеем: разложение в степенной ряд в окрестности нуля по степеням .

Разложение функции в степенной ряд облегчает приближенные вычисления значений функции с заданной точностью. Именно: значение с любой заданной точностью можно заменить на частную сумму степенного ряда. , а - это многочлен и при его вычислении используются только операции сложения, вычитания и умножения. В результате, значения самых различных функций (показательных, логарифмических, тригонометрических, …) вычисляются с помощью одних только этих операций.

Ясно, что ряд (1) можно написать, если заданы коэффициенты , т.е. степенной ряд вполне определяется заданием точки и набора коэффициентов . Одна и та же функция может быть разложена в окрестностях различных точек в различные степенные ряды.

Например:

Это будут различные степенные ряды, имеющие различные наборы коэффициентов: и . Но оказывается, что если разлагается в степенной ряд в окрестности одной точки , то такой ряд единственный, т.е. каким бы способом ни была разложена в степенной ряд в окрестности точки , получившийся ряд имеет всегда один и тот же набор коэффициентов. Это свойство называется единственностью разложения в степенной ряд.

Теорема 35 (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд, то это разложение единственно.

Доказательство: Пусть функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки : (1), тогда по теореме 33 как сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема на этом интервале, причем ее -я производная равна:

В частности, при :
.

Т.о. для всех (2)

Итак, если имеет место разложения (1), то коэффициенты обязаны равняться числам , из-за этого возможен только единственный набор таких коэффициентов.¨

Если функция бесконечно дифференцируема в какой-либо точке , то вычислив значения , можно составить набор чисел .

Степенной ряд по степеням , коэффициенты которого вычислены через значения данной функции и ее производных в точке по формуле (2), т.е. ряд называется рядом Тейлора данной функции в окрестности точки (независимо от того, будет ли суммой этого ряда или не будет).

Ряд Тейлора в окрестности 0:

называется рядом Маклорена функции .

Если оказывается суммой своего ряда Тейлора, то вместо знака "~" пишут "=".

Теперь можно сформулировать следствие из теоремы.

Следствие: Если функция разлагается в окрестности точки в степенной ряд, то это будет обязательно ряд Тейлора этой функции. Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности некоторой точки , то вычислив значения можно всегда формально написать ряд Тейлора функции в окрестности . Однако такой ряд не обязательно сходится к функции , породившей этот ряд. Во-первых, может оказаться, что в каких-либо точках области определения функции ряд Тейлора расходится. Во-вторых, если даже ряд Тейлора сходится во всей области определения функции , может оказаться, что его сумма не совпадает с данной функцией .

Примеры:
1) . Известно, что при , значит, имеем разложение функции в окрестности точки на интервале . На этом интервале . Разложение есть. Вне интервала ряд расходится, т.е. не существует, в то время, как существует везде, кроме , так что вне интервала . Значит разложение существует только на .

бесконечно дифференцируема при всех , в том числе и при .

И вообще: , где - некоторый многочлен относительно , . (здесь - не степень многочлена, а порядковый номер). Это можно доказать методом математической индукции.

; Докажем методом математической индукции что при любом .

Предположим, что , тогда .

Значит при любом .

Ряд Тейлора для в окрестности 0: имеет сумму на . Но только в одной точке , следовательно ни в какой окрестности 0 не совпадает с т.е. не смотря на то, что бесконечно дифференцируема в окрестности 0. Она не является суммой своего ряда Тейлора, значит не разлагается в степенной ряд в окрестности 0.

Основную роль в исследовании условий разложимостити функции в степенной ряд будет играть формула Тейлора.

Формула Тейлора.

Вопрос о разложимости в степенной ряд наиболее просто решается в случае когда есть многочлен. Каждый многочлен разлагается в степенной ряд в окрестности любой т. на всем интервале .

Пусть, например, – многочлен степени. При имеем ; после возведения скобки в указанные степени и приведения подобных, получим требуемое разложение: на . Согласно теореме 35 (о единственности разложения) коэффициенты должны равняться числам . Поэтому .

Это разложение многочлена называется формулой Тейлора для многочлена (число членов конечно, поэтому употребляется слово «формула» вместо слова «ряд»).

Если не многочлен, но имеет в окрестности производные до порядка, то, вычислив числа можно составить многочлен: – многочлен Тейлора для . Он отличается от на некоторую величину : (1)

Это формула Тейлора для функции в окрестности точки ;. называется остаточным членом формулы Тейлора.

Остаточный член может иметь различный вид для различных функций, но замечательно то, что если имеет еще и производную, то остаточный член выражается через производную.

Теорема 36 (о формах остаточного члена). Если имеет в некоторой окрестности точки непрерывные производные до порядка включительно, то при всех :
1) (остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме).
2) , где , (в форме Лагранжа).
3) , где (в форме Коши).

Доказательство:
1) .

Поскольку на интервале существуют непрерывные производные: , то тоже имеет непрерывные производные: (т.к. выражается через ).

;

( )

;

…

;

В частности: .

С учетом этих равенств получим: (все на отрезке непрерывны, поэтому все интегралы с их участием существуют)= и формула (1) доказана.

Формулы (2) и (3) выведем из (1), используя обобщенную теорему о среднем для определенного интеграла.

2) Пусть , по условию .

Тогда , кроме того на отрезке . Поэтому , где . . Здесь , обозначим , поскольку всегда и - одного знака, то отношение . Кроме того , т.е. и можно взять отсюда . Подставляя, получим: