Условия разложимости функции в степенной ряд.
Согласно теореме 33, сумма степенного ряда по степеням
должна быть бесконечно дифференцируемой на некотором интервале
. Поэтому разлагаться в степенной ряд в окрестности
может только такая функция, которая бесконечно дифференцируема в этой окрестности. Но, как показывает пример 2 (см. 2.7), бесконечная дифференцируемость не достаточна для того, чтобы функция разлагалась в степенной ряд.
Теорема 37 (критерий разложимости в степенной ряд).Функция
, бесконечно дифференцируемая в окрестности точки
, разлагается в степенной ряд в этой окрестности тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора функции
во всех точках окрестности стремится к 0 при
.
Доказательство: заметим, что в формуле Тейлора
многочлен
есть n-я частная сумма
ряда
, поэтому [
разлагается в степенной ряд в окрестности
:
]
, что и требовалось доказать.¨
Таким образом, если
имеет в окрестности точки
производные всех порядков то для разложения ее в степенной ряд нужно:
1) формально составить формальный ряд Тейлора,
2) найти область сходимости этого ряда,
3) выбрать из этой области те точки
, в которых
при
. Именно в этих точках функция.
равна сумме своего степенного ряда (остаточный член формулы Тейлора
можно брать в форме Л. или Коши).
Иногда исследование остаточного члена трудно, в этих случаях может быть полезной следующая теорема:
Теорема 38 (достаточное условие разложимости в степенной ряда). Если
бесконечно дифференцируема в окрестности
точки
, причем производные всех порядков в этой окрестности ограничены одним и тем же числом:
, (
) то
разлагается в степенной ряд в окрестности
.
Доказательство:достаточно показать, что
.
Возьмем
в форме Лагранжа:
, где
, Поскольку
то
.
.
Но
есть общий член сходящегося ряда (пр. Даламбера
), поэтому он стремится к 0:
, тогда тем более
.¨
2.10 Разложение некоторых элементарных
функций в степенной ряд.
Рассмотрим разложение элементарных функций в степенной ряд в окрестности
, т.е. ряд Маклорена:
Отметим, что формула Тейлора в окрестности
:
называется формулой Маклорена.
Остаточный член формулы Маклорена имеет вид:
а)
,
;
; в форме Лагранжа и
б)
,
; в форме Коши.
1) Логарифмический ряд:
. Бесконечно дифференцируема при
(
не берем, т.к. при
не существует).
.



…
. (методом математической индукции при
)
, 
1) Составим ряд Маклорена:
.
2) Найдем области сходимости:
.
Ряд абсолютно сходится при
, расходится при
.
Исследуем на концах:
:
расходится как отрицательный гармонический ряд.
:
– сходится, т.к. лейбницевского типа, но не абсолютно.
Область сходимости:
.
3) Исследуем поведение
в этой области. Возьмем
в формуле Лагранжа
(т.к
),

а) при
получается простая оценка:
, отсюда:
.
б) При
оценка затрудняется, поэтому возьмем теперь
в форме Коши:
.
.
1-й множитель:
, т.к.
.
.
Кроме того,
, т.к.
. Следовательно,
.
2-й множитель:
т.к.
. Следовательно
.
Т.о.
.
, т.к.
из-за
. Т.о.
. Следовательно
разлагается в ряд Маклорена на промежутке
:
.
Пример:
можно вычислить без таблиц.
2) Биноминальный ряд.
,
. Бесконечно дифференцируема в области определения. Аналогично предыдущему найдем:
.
:
. Пользуясь признаком Даламбера, можно найти интеграл сходимости
. Можно доказать, что
(доказательство сложное).
Следовательно
разлагается на интервале
:

Замечание: если
, то имеем обычный бином Ньютона:
причем это разложение верно на всем интервале
.
3) Ряд экспоненты.
.
Функция бесконечно дифференцируема на всем множестве
, причем
и если взять конечный интервал
, то в силу
, т.е. для
.
Это означает, что производные всех порядков на
ограничены постоянной
, поэтому
разлагается согласно теореме 38 в ряд Маклорена на этом интервале. В силу произв-ти
разлагается на всем интервале
.

Можно вычислить число
с любой точностью.
4)
.
Бесконечно дифференцируема:
.
по теореме 38 синус разлагается на всей числовой оси.
.
.
5)
.
Можно поступить как с синусом, но мы воспользуемся известным рядом для синуса.
.
Согласно теореме о единственности разложения этот ряд и есть ряд Маклорена.
6) Ряд арктангенса: 
Воспользуемся равенством
.
можно рассматривать как сумму геометрического ряда, у которого
.
при
,
,
.
Поэтому:
.
Можно доказать, что равенство верно при
, так что
. По теореме о единственности разложения этот ряд и степенной ряд Маклорена.
Пример: 
Разложить в окрестности
(т.е. по степеням
) 
Примем
, тогда:
. При
, т.е.
, имеем сумму геометрического ряда с
:
. С другой стороны
.
Если
, т.е.
, то имеет сумму биномиального ряда:
=
.
В итоге: при
имеют место оба разложения одновременно и
Итак,
.
В силу единственности разложения это и есть ряд Маклорена.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.