Условия разложимости функции в степенной ряд.

Согласно теореме 33, сумма степенного ряда по степеням должна быть бесконечно дифференцируемой на некотором интервале . Поэтому разлагаться в степенной ряд в окрестности может только такая функция, которая бесконечно дифференцируема в этой окрестности. Но, как показывает пример 2 (см. 2.7), бесконечная дифференцируемость не достаточна для того, чтобы функция разлагалась в степенной ряд.

Теорема 37 (критерий разложимости в степенной ряд).Функция , бесконечно дифференцируемая в окрестности точки , разлагается в степенной ряд в этой окрестности тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора функции во всех точках окрестности стремится к 0 при .

Доказательство: заметим, что в формуле Тейлора многочлен есть n-я частная сумма ряда , поэтому [ разлагается в степенной ряд в окрестности : ] , что и требовалось доказать.¨

Таким образом, если имеет в окрестности точки производные всех порядков то для разложения ее в степенной ряд нужно:

1) формально составить формальный ряд Тейлора,
2) найти область сходимости этого ряда,
3) выбрать из этой области те точки , в которых при . Именно в этих точках функция.

равна сумме своего степенного ряда (остаточный член формулы Тейлора можно брать в форме Л. или Коши).

Иногда исследование остаточного члена трудно, в этих случаях может быть полезной следующая теорема:

Теорема 38 (достаточное условие разложимости в степенной ряда). Если бесконечно дифференцируема в окрестности точки , причем производные всех порядков в этой окрестности ограничены одним и тем же числом: , ( ) то разлагается в степенной ряд в окрестности .

Доказательство:достаточно показать, что .

Возьмем в форме Лагранжа: , где , Поскольку то .

Но есть общий член сходящегося ряда (пр. Даламбера ), поэтому он стремится к 0: , тогда тем более .¨

2.10 Разложение некоторых элементарных
функций в степенной ряд.

Рассмотрим разложение элементарных функций в степенной ряд в окрестности , т.е. ряд Маклорена: Отметим, что формула Тейлора в окрестности : называется формулой Маклорена.

Остаточный член формулы Маклорена имеет вид:

а) , ; ; в форме Лагранжа и

б) , ; в форме Коши.

1) Логарифмический ряд: . Бесконечно дифференцируема при ( не берем, т.к. при не существует).

…

. (методом математической индукции при )

1) Составим ряд Маклорена:
.

2) Найдем области сходимости: .
Ряд абсолютно сходится при , расходится при .

Исследуем на концах:

: расходится как отрицательный гармонический ряд.

: – сходится, т.к. лейбницевского типа, но не абсолютно.

Область сходимости: .

3) Исследуем поведение в этой области. Возьмем в формуле Лагранжа
(т.к ),

а) при получается простая оценка: , отсюда: .

б) При оценка затрудняется, поэтому возьмем теперь в форме Коши: .

1-й множитель: , т.к. .

Кроме того, , т.к. . Следовательно, .

2-й множитель: т.к. . Следовательно .

Т.о. . , т.к. из-за . Т.о. . Следовательно разлагается в ряд Маклорена на промежутке : .

Пример: можно вычислить без таблиц.

2) Биноминальный ряд. , . Бесконечно дифференцируема в области определения. Аналогично предыдущему найдем: .

: . Пользуясь признаком Даламбера, можно найти интеграл сходимости . Можно доказать, что (доказательство сложное).

Следовательно разлагается на интервале :

Замечание: если , то имеем обычный бином Ньютона: причем это разложение верно на всем интервале .

3) Ряд экспоненты. .

Функция бесконечно дифференцируема на всем множестве , причем и если взять конечный интервал , то в силу , т.е. для .

Это означает, что производные всех порядков на ограничены постоянной , поэтому разлагается согласно теореме 38 в ряд Маклорена на этом интервале. В силу произв-ти разлагается на всем интервале .