Главная | Обратная связь

Построение областей устойчивости САУ

При синтезе САУ, когда требуется определить влияние каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят области устойчивости в пространстве этих параметров.

Области устойчивости — это совокупность значений параметров системы, при которых система асимптотически устойчива. При двух варьируемых параметрах это области на плоскости, при трёх - в трёхмерном пространстве.

Если в пространстве всех своих параметров система не имеет области устойчивости, то она называется структурно неустойчивой. Построение границ областей устойчивости осуществляется с помощью критериев устойчивости. Для этой цели наиболее часто используется критерий Михайлова.

Область устойчивости, построенная по критерию Михайлова, называется D - областью, а метод построения областей устойчивости по критерию Михайлова называется D - разбиением.

Для применения метода D - разбиения необходимо иметь характеристическое уравнение

. (1.9.4.1)

Различают три типа границ областей устойчивости:

1) апериодическая,

2) граница с бесконечно большим корнем,

3) колебательная.

Пусть требуется построить области устойчивости на плоскости варьируемых параметров k₁ и k₂, т.е. коэффициенты характеристического уравнения зависят от этих параметров.

,

где n — показатель степени характеристического уравнения.

Для получения апериодической границы полагают

. (1.9.4.2)

Уравнение (2) есть уравнение кривой на плоскости k₁,k₂ (рис.1.9.17).

Для получения границы с бесконечно большим корнем полагают

. (1.9.4.3)

Уравнение (3) есть уравнение второй кривой на рисунке.

 

 

Рисунок 1.9.17.

 

Из характеристического уравнения (1)

Поэтому уравнение (3) называют границей с бесконечно большим корнем.

Для получения колебательной границы в уравнении (1) делают подстановку p=jw, где j- мнимая единица, w - частота. В результате получается характеристический комплекс

. (1.9.4.4)

Комплексная переменная тогда и только тогда равна 0 когда одновременно равны нулю её действительная и мнимая части, т.е.:

. (1.9.4.5)

Система (5) представляет собой уравнение кривой на плоскости k₁, k₂, заданной в параметрическом виде, где роль параметра выполняет w.

В результате плоскость k₁,k₂ оказалась разбитой на 7 областей.

Существует несколько методов выделения областей устойчивости:

1) метод штриховки;

2) применение критериев устойчивости;

3) метод проб.

При применении метода проб в исследуемой области назначают точку с определёнными значениями k₁,k₂. При этих значениях находят значения коэффициентов характеристического уравнения, а затем с помощью любого критерия, использующего характеристическое уравнение, определяется устойчивость системы в данной точке. Если система асимптотически устойчива (неустойчива) в данной точке, то она асимптотически устойчива (неустойчива) во всей исследуемой области.

В качестве примера рассмотрим задачу.

Задача: построить область устойчивости системы, представленной на рис. 1.9.18, на плоскости параметров k_у, Т_у, где У – усилитель, ЭД – электродвигатель.

 

 

─

 

Рисунок 1.9.18. Структурная схема электропривода.

На рисунке представлена структурная схема электропривода (ЭП), регулирующего угол поворота у с обозначениями

k_у, k_д — коэффициенты передачи,

Т_у, Т_д — постоянные времени,

Передаточная функция разомкнутой системы

W=W_y·W_д . (1.9.4.6)

Передаточная функция замкнутой системы

. (1.9.4.7)

Для получения характеристического уравнения приравниваем знаменатель в (7) к нулю.

.

Приведём к общему знаменателю

.

Дробь равна 0, когда числитель равен нулю, т.е.

.

Это характеристическое уравнение замкнутой САУ приведём к стандартному виду

, (1.9.4.8)

где а₀ = Т_уТ_Д, а₁ = Т_у+Т_Д а₂=1, а₃ º к_ук_Д := к.

Построим область устойчивости.

Апериодическая граница устойчивости

а₃ºк=0. (1.9.4.9)

Граница с бесконечно большим корнем

. (1.9.4.10)

Колебательная граница устойчивости в соответствии с (5) и (8) определяется системой

(1.9.4.11)

Из второго уравнения системы (11) следует:

1) w=0,

2) . (1.9.4.12)

Подстановка w=0 в первое уравнение в (11) дает k=0. Это уже найденная апериодическая граница устойчивости (9). Из (12) найдём w² и подставим в первое уравнение системы (11). Тогда

. (1.9.4.13)

Это уравнение колебательной границы устойчивости.

Границы областей (9), (10), (13) изображены на рис. 1.9.19.

Найдем среди пяти областей область устойчивости. Для этого воспользуемся коэффициентными критериями устойчивости.

 

 

Рисунок 1.9.19

Необходимые условия асимптотической устойчивости (положительность всех коэффициентов характеристического уравнения) дают

а₃ º k>0, a₀ º T_yT_Д > 0 Þ T_y>0.

Таким образом, областями устойчивости могут быть вторая и третья области. Для окончательного выявления области устойчивости воспользуемся критерием Раусса-Гурвица применительно к системе третьего порядка. Этот критерий дает

а₁а₂-а₀а₃ = (T_y+T_д)·1-T_yT_д·k > 0.

отсюда следует

. (1.9.4.14)

Граница области устойчивости дана в (13). Тогда из уравнения (14) следует, что областью устойчивости является область III.