Определить сходимость ряда по определению сходимостиСтр 1 из 22Следующая ⇒
Числовые ряды Понятие числового ряда
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность действительных чисел: U1 , U2 , …,Un ,…. где Последовательность считается заданной, если задан закон, по которому можно найти ее член. Например: 1,4,9,…,n2,… Выражение называется бесконечным числовым рядом, т.е. ряд – это сумма бесконечного числа слагаемых U1, U2, …,Un,…. Числа U1, U2, …,Un,…называются членами ряда, а Числа: . . . . . . . . . . . . . . . Sn = U1 + U2 +U3 + …+ Un; называются частичной суммой ряда (1) Сумма n первых членов ряда (1)
называется остатком ряда(1). Ряд (1) называется сходящимся, если его n – я частичная сумма Sn при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е. где S – сумма ряда. В этом случае записывают Если же при Пример 1. Найти сумму ряда. Представим общий член ряда
таким образом, А=1, В= -1
7. Определить область сходимости функционального ряда. а) б) в) 8. а) Разложить б) Разложить а) б) 9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа). а) 10. а)Найти неопределённый интеграл; б) Найти или вычислить, определённый интеграл; в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда). а) б) в) 11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах. а) б) 12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах. а) б)
Вариант№31 1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости. а) б) 2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости. а) б) 3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения. а) б) 4. То же с помощью признака Даламбера. а) б) 5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака. а) б) 6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость. а) б)
Следовательно Таким образом, данный ряд является сходящимся и его сумма равна 1, т.е. Пример 2. Определить сходимость ряда по определению сходимости 1+1+…+1+… Найти сумму ряда: тогда т.о. данный ряд является расходящимся. Пример 3. Определить сходимость ряда Если последовательность имеет предел, то любая ее под последовательность имеет тот же предел. Найдем Следовательно, Пример 4.
Запишем общий член ряда Найдем сумму ряда: где . . . . . . . . . . тогда Отсюда Ряд расходится. Пример 5. Найти сумму ряда Заметим, что
![]()
7. Определить область сходимости функционального ряда. а) б) в) 8. а) Разложить б) Разложить а) б) 9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа). а) 10. а)Найти неопределённый интеграл; б) Найти или вычислить, определённый интеграл; в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда). а) б) в) 11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах. а) б) 12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах. а) б) Вариант№30 1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости. а) б) 2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости. а) б) 3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения. а) б) 4. То же с помощью признака Даламбера. а) б) 5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака. а) б) 6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость. а) б) Откуда,
Геометрический ряд Ряд a + aq +aq2 + aq3 + …+ aqn+… (*) называется геометрическим, если его члены представляют собой члены геометрической прогрессии, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии – q. Рассмотрим п –ую частичную сумму этого ряда Sn = a + aq + aq2 + aq3 +…+ aqn+… Она равна сумме членов геометрической прогрессии (если q
Найдём предел последовательности частичных сумм геометрического ряда. 1) Если
2)
![]() ![]() 3) Если q = 1,то имеем ряд а + а + а + …+ а +…Его п-я частичная сумма Sn = na . При 4) Если q = -1, то имеем ряд а – а + а – а + …+(-1)п-1а+… Его частичные суммы попеременно равны а и о: S1 = a, S2 = 0, S3 = a,…, Sn = 0, т.е. но такая последовательность предела не имеет. Итак, геометрический ряд (*) сходится, если ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|