Главная | Обратная связь

Определить сходимость ряда по определению сходимости

Числовые ряды

Понятие числового ряда

 

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность действительных чисел:

U₁ , U₂ , …,U_n ,….

где - функция целочисленного аргумента n.

Последовательность считается заданной, если задан закон, по которому можно найти ее член.

Например:

1,4,9,…,n²,…

Выражение

(1)

называется бесконечным числовым рядом, т.е. ряд – это сумма бесконечного числа слагаемых U₁, U₂, …,U_n,….

Числа U₁, U₂, …,U_n,…называются членами ряда, а - общим членом данного ряда (1).

Числа:

^{. . . . . . . . . . . . . . .}

S_n = U1 + U₂ +U₃ + …+ U_n;

называются частичной суммой ряда (1)

Сумма n первых членов ряда (1)

называется n – й частичной суммой ряда, а оставшаяся сумма

 

называется остатком ряда(1).

Ряд (1) называется сходящимся, если его n – я частичная сумма S_n при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т.е.

(2)

где S – сумма ряда. В этом случае записывают

Если же при предел частичной суммы S_n не существует или же он бесконечен, то ряд называется расходящимся и суммы не имеет.

Пример 1. Найти сумму ряда.

Представим общий член ряда в виде суммы элементарных дробей, для этого воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

таким образом, А=1, В= -1

Сумма ряда может быть записана в виде:

 

 

 

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б)

в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

 

Вариант№31

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

 

Следовательно

Таким образом, данный ряд является сходящимся и его сумма равна 1, т.е.

Пример 2.

Определить сходимость ряда по определению сходимости

1+1+…+1+…

Найти сумму ряда:

тогда

т.о. данный ряд является расходящимся.

Пример 3.

Определить сходимость ряда

Если последовательность имеет предел, то любая ее под последовательность имеет тот же предел.

Найдем

Следовательно, не стремится ни к какому пределу; данный ряд расходится.

Пример 4.

Определить сходимость ряда

Запишем общий член ряда в виде:

Найдем сумму ряда:

где

^{. . . . . . . . . .}

тогда

Отсюда

Ряд расходится.

Пример 5.

Найти сумму ряда

Заметим, что

Легко предположить, что Как и раньше находим

 

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б)

в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

Вариант№30

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

Откуда, и

 

Геометрический ряд

Ряд

a + aq +aq² + aq³ + …+ aqⁿ+… (*)

называется геометрическим, если его члены представляют собой члены геометрической прогрессии, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии – q.

Рассмотрим п –ую частичную сумму этого ряда

S_n = a + aq + aq² + aq³ +…+ aqⁿ+…

Она равна сумме членов геометрической прогрессии (если

q 1), т.е.

.

Найдём предел последовательности частичных сумм геометрического ряда.

1) Если < 1, то , поэтому

.

2)

Если > 1, то не существует, а значит и последовательность частичных сумм не имеет предела.

3) Если q = 1,то имеем ряд а + а + а + …+ а +…Его п-я частичная сумма S_n = na . При , в зависимости от знака а.

4) Если q = -1, то имеем ряд а – а + а – а + …+(-1)^п-1а+… Его частичные суммы попеременно равны а и о: S₁ = a, S₂ = 0, S₃ = a,…, S_n = 0, т.е. ,

но такая последовательность предела не имеет.

Итак, геометрический ряд (*) сходится, если <1 и его сумма , а расходится если 1.