 |
|
Достаточные признаки сходимости числовых рядов
Признак сравнения.
Пусть даны два ряда с неотрицательными членами:
(1)
(2)
Если 
при любом n, то:
1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);
2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
| | | ||||
7. Определить область сходимости функционального ряда.
а) 
;
б) 
в) 
8. а) Разложить 
в ряд Тейлора по степеням разности 
, пользуясь определением ряда Тейлора;
б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.
а) 
б) 
9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).
а) 
10. а)Найти неопределённый интеграл;
б) Найти или вычислить, определённый интеграл;
в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).
а) 
б) 
в) 
11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.
а) 
б) 
по синусам.
12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.
а) 
б) 
по косинусам.
Вариант№28
1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.
а) 
б) 
2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.
а) 
б) 
3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.
а) 
б) 
4. То же с помощью признака Даламбера.
а) 
б) 
5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.
а) 
б) 
6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.
а) 
б) 
Доказательство:
1) Пусть 
- частичная сумма ряда (1);
- частичная сумма ряда (2);
Так как ряд (2) сходится, то его частичные суммы ограничены, т. е. для всех n выполняется неравенство 
где M – некоторое число.
Но из условия, что следует, что 
.
Поэтому частичная сумма ограничена (т.к., если переменная величина возрастает и ограничена, то она имеет предел)
.
Причем, очевидно 
, а это означает, что ряд сходится.
2) Предположим, что ряд (2) сходится, но тогда согласно первому условию ряд (1) также сходится, а это противоречит второму условию теоремы.
Следствие: