Здавалка
Главная | Обратная связь

Предельный признак Даламбера.



Если

Признак Коши (радикальный)

Если ряд с неотрицательными членами что для всех достаточно больших n выполняется то сходится, если нет то ряд расходится.

Доказательство:

Условие при означает, что все члены ряда кроме конечного числа их, не превосходят членов

       
   
 
 

 


ряда сходящейся геометрической , а, следовательно, ряд сходится.

Если то т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится.

 

Следствие:

Предельный признак Коши

Если существует то при р<1 ряд сходится; при р>1 – расходится; р=1 не ясно.

 

Пример 8.

, k = 1,2, …

Необходимый признак:

Проверим достаточный признак Даламбера:

Ряд сходится.

 

Пример 9.

по Коши (достаточный признак).

Ряд сходится.

 

 

 
 


7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б)

в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

 

 

Вариант№26

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а) ; б)

 

 

Пример 10.

Исследовать сходимость обобщенного гармонического ряда (p – действительное число)

Необходимое условие:

по Даламберу:

по Коши:

.

Судить о сходимости или расходимости нельзя. Необходим другой признак.

Пример 11.

Исследовать сходимость ряда.

Имеем

Найдем Ряд сходится.

Пример 12.

Исследовать сходимость ряда.

Имеем

       
   
 
 


Найдем Ряд расходится.

Пример 13.

Исследовать на сходимость ряд

Итак, следовательно, исходный ряд сходится.

 

Пример 14.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Коши:

Исходный ряд сходится.

 

Замечание 1.

Признак Даламбера и Коши удобно использовать, когда в общем члене ряда содержатся величины типа и (или)

Замечание 2.

Признаки Даламбера и Коши равносильны.

 

       
 
   
 


7. Определить область сходимости функционального ряда.

р)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б)

в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

 

Вариант№25

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а)

б)

 

 

Формула Стирлинга.

Формула Стирлинга используется для исследования на сходимость по признаку Даламбера, иногда в случае, когда признак Даламбера не работает. Так, для ряда

имеем:

Применяя формулу Стирлинга к n-му члену ряда, имеем:

Итак, исходный ряд ведет себя в смысле сходимости как обобщение гармонического ряда с т. е. расходится.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.