Главная | Обратная связь

Предельный признак сравнения

 

Если и существует то ряды и ведут себя одинаково относительно сходимости, т. е. либо сходятся одновременно, либо одновременно расходятся.

Пример 6.

Исследовать на сходимость ряд

~ ~ = ;

Данный ряд эквивалентен обобщенному гармоническому ряду с . Поэтому расходится.

Пример 7.

Исследовать на сходимость ряд

Общий член ряда (n=1, 2, …) в качестве возьмем

но – расходится, поэтому расходится.

 

Признак Даламбера

 

Если для ряда с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство , то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

Доказательство:

Пусть и или , тогда

7. Определить область сходимости функционального ряда.

а)

б)

в)

8. а) Разложить в ряд Тейлора по степеням разности ,пользуясь определением ряда Тейлора;

б) Разложить в ряд Маклорена, пользуясь стандартными разложениями.

а)

б)

9. Найти решение данного дифференцального уравнения в виде степенного ряда (четыре ненулевых числа).

а)

10. а)Найти неопределённый интеграл;

б) Найти или вычислить, определённый интеграл;

в) Вычислить значение указанной функции (вычисления выполнить с точностью до 0.001, затем указать точность вычисления, взяв три члена соответствующего стандартного ряда).

а)

б)

в)

11. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по косинусам.

12. Разложить в ряд Фурье указанные функции в указанных интервалах.

а)

б) по синусам.

 

 

Вариант№27

1.Написать пять первых членов ряда. Проверить для данных рядов выполнение необходимого признака сходимости.

а)

б)

2. Исследовать ряды на сходимость по определению сходимости.

а)

б)

3. Исследовать ряды на сходимость с помощью признака сравнения.

а)

б)

4. То же с помощью признака Даламбера.

а)

б)

5. То же с помощью интегрального (Коши-Маклорена) признака.

а)

б)

6. а) Записать общий член ряда, б) Исследовать ряды на сходимость.

а) ; б)

 

 

Сходимость вытекает из сходимости ряда геометрической прогрессии со знаменателем q:

Если , то при достаточно больших n, , т. е. Каждый последующий член ряда начинается с некоторого номера не меньше предыдущего, поэтому общий член при не стремится к 0, а значит расходится.

Следствие.