Векторные пространства и алгебры⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 12
Пусть дана коммутативная группа A по сложению (11,1) с элементами и, v,…, в которой, кроме сложения элементов, определено еще также умножение их на действительные числа а, b,... так, что произведение аи принадлежит группе A, где а — любое действительное число, а и — любой элемент из А. Определение 1. Элемент и группы A называется линейной комбинацией элементов относительно поля действительных чисел D, если в D имеются такие Например, каждый кватернион является линейной комбинацией четырех элементов 1, i, j, k, так как Роль группы A здесь выполняет множество всех кватернионов. Определение 2. Система элементов группы A называется линейно зависимой над полем действительных чисел D, если какой - либо элемент этой системы является линейной комбинацией остальных её элементов. В противном случае система называется линейно независимой. В частности, если зависимая система состоит только из двух элементов u и v, т. е. , то элемент и называется пропорциональным элементу v. Теорема 3. Для того чтобы система элементов группы A была линейно зависимой над полем D, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные, не все равные нулю, числа такие, чтобы выполнялось равенство Доказательство. Пусть система элементов линейно зависима, т. е. Тогда где . Обратно, пусть где . Тогда т. е. элемент является линейной комбинацией остальных элементов. Эту доказанную теорему можно принять в качестве определения линейной зависимости элементов группы A относительно поля D. Следствие 4. Для того чтобы система элементов группы A была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство выполнялось только при условии . Например, равенство выполняется только при условии следовательно, система 1, i, j, k линейно независима над полем действительных чисел D. Определение 5. Линейно независимая система элементов группы A называется базисом этой группы, если любой элемент из A является линейной комбинацией элементов данной системы. Говорят также, что любой элемент из A линейно выражается через базис данной группы. Например, система 1, i, j, k является базисом группы кватернионов Q. Определение 6. Коммутативная группа по сложению A называется n - мерным векторным пространством над полем действительных чисел D, если в A определено умножение элементов на действительные числа, обладающее следующими свойствами: 1)Произведение аи всегда принадлежит А. 2) . 3) . 4) . 5)В группе A имеется базис, состоящий из n элементов Всякий элемент n - мерного векторного пространства A называется n - мерным вектором, а число элементов базиса n называется размерностью данного пространства. Следствие 7. Из условий 2 и 4 определения 30,6 следует:
В частности, при b = 1 и при b = 0 получаем: Следствие 8. Из условия 3 определения 30,6 и свойств элементов группы A следует: т. е. сложение элементов n - мерного векторного пространства сводится к сложению соответственных компонентов (действительных чисел). Следствие 9. Каждый элемент векторного пространства A линейно выражается через базис единственным образом (однозначно). Доказательство. Из следует
Последнее равенство ввиду линейной независимости базиса возможно тогда, и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т. е.
Теорема 10. n - мерное векторное пространство A над полем D с точностью до изоморфизма однозначно определяется заданием размерности, т. е. все n - мерные векторные пространства над полем действительных чисел изоморфны друг другу. Доказательство. Если и базисы двух n - мерных векторных пространств A и B, то изоморфным соответствием будет так как это соответствие взаимно однозначное и оно не будет нарушаться при сложении и умножении векторов на действительные числа. На основании теоремы 30,10 мы можем понимать под n - мерным вектором просто упорядоченную систему n действительных чисел Сумма двух векторов тогда будет определяться как вектор а произведение — как вектор
Свойства 1 — 4 определения 30,6 в определенном таким образом множестве векторов будут автоматически выполняться. Далее, в качестве базисных элементов -мерного векторного пространства проще всего можно выбрать векторы, называемые единичными векторами: . . . . . . . . . . . . . . . Система единичных векторов линейно независима, так как равенство будет выполняться тогда, и только тогда, когда . В этом же множестве выполняется и свойство 5 определения 30,6, так как для всякого вектора имеет место равенство Таким образом, множество А всех упорядоченных систем действительных чисел на самом деле образует -мерное векторное пространство. Определение 30,11. -мерное векторное пространство над полем действительных чисел называется алгеброй или гиперкомплексной системой ранга над полем , если в определено еще умножение элементов друг на друга, которое подчиняется закону ассоциативности и связано со сложением обоими законами дистрибутивности, кроме того, выполняется условие: 6. для всех из . Если при этом алгебра является телом, то она называется алгеброй с делением. Следствие 30,12. Из условия 6 следует равенство: (I) Следствие 30,13. Из выполнения законов дистрибутивности в следует равенство: (II) Последнее равенство показывает, что для вычисления произведения любых элементов из достаточно знать произведение любых базисных элементов и . При этом произведение базисных элементов само должно быть линейной комбинацией базисных элементов, т. е. должно выполняться равенство:
(III)
Таким образом, для составления таблицы умножения базисных элементов потребуется действительных чисел (всех произведений будет , а для каждого такого произведения требуется коэффициентов), которые называются структурными константами этой алгебры. При произвольном выборе структурных констант закон дистрибутивности следует из условий II и III. Для выполнения же закона ассоциативности умножения необходимо и достаточно еще потребовать его выполнения для базисных элементов (IV) Требования II, III, IV вместе с требованиями из следствий 7 и 8, т.е. вместе с требованиями: ,
. полностью определяют операции в алгебре над полем . Если еще умножение базисных элементов алгебры над полем коммутативно, т. е. для любых элементов и то алгебра будет коммутативной алгеброй с делением. Примеры алгебр с делением над полем действительных чисел. 1. Само поле действительных чисел D есть алгебра ранга 1. Базис этой алгебры состоит из одного элемента — единицы. 2. Поле комплексных чисел есть алгебра ранга 2. Базис этой алгебры состоит из двух элементов 1 и 3. Тело кватернионов есть алгебра ранга 4. Базис этой алгебры состоит из четырех элементов 1, . Следует иметь в виду, что в качестве базисных элементов алгебры могут быть выбраны и другие элементы данной алгебры, но во всех случаях их число будет одно и то же, равное рангу алгебры . Мы уже видели, что поле действительных чисел Rявляется максимальным архимедовски расположенным полем, поэтому при переходе к полю комплексных чисел пришлось отказаться от выполнения аксиомы Архимеда и вместе с этим и от аксиом скалярного расположения. При переходе от поля комплексных чисел к телу кватернионов пришлось отказаться от коммутативности умножения. Дальнейшие расширения приводят к потере других важных свойств числовых множеств, в частности закона ассоциативности умножения и других. Оказывается, что перечисленными тремя примерами ассоциативных алгебр с делением над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма исчерпываются все такие алгебры. Теорема Фробениуса. Поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов являются единственными с точностью до изоморфизма ассоциативными алгебрами с делением конечного ранга над полем действительных чисел R . Доказательство. Пусть над полем Rдана ассоциативная алгебра с делением ранга . Так как содержит единицу, то в содержится целиком поле R или поле , изоморфное полю R. если , то алгебра совпадает c Rили изоморфна R. Если , то для проведения доказательства, данной теоремы нам потребуется еще одно свойство -мерных векторных пространств. Теорема 14. Всякие элементов -мерного векторного пространства над полем действительных чисел R составляют линейно зависимую систему. Доказательство. Из курса высшей алгебры известно, что система однородных линейных уравнений с числом неизвестных, большим числа уравнений данной системы, всегда имеет и не нулевые решения. Пусть даны произвольные элементов данного -мерного векторного пространства и — базис этого пространства. Тогда
Умножаем почленно эти равенства соответственно на некоторые действительные числа (как показано выше) и затем складываем полученные после такого умножения равенства почленно. После этого получим равенство (2) справедливое при любом выборе множителей Система уравнений
согласно сделанному в начале доказательства замечанию имеет по меньшей мере одно не нулевое решение (таких решений будет бесконечное множество) т. е. решение, в котором не все при равны нулю. При из равенства (2) получается равенство которое показывает, что, по теореме 30,3, элементы составляют линейно зависимую систему. Теорема доказана. Пусть теперь — произвольный элемент из алгебры , не являющийся действительным числом (не принадлежащий и множеству, изоморфному R). Для элементов число которых равно найдутся действительные числа не все равные нулю, что будет выполняться равенство т.е. элемент является корнем уравнения с действительными коэффициентами, степень которого не выше . Кроме того, из курса высшей алгебры известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители тоже с действительными коэффициентами не выше второй степени. Так как в алгебре делители нуля отсутствуют ( является телом), то элемент должен быть корнем некоторого квадратного уравнения с дискриминантом, меньшим нуля (в противном случае элемент был бы действительным числом). Из получаем: Таким образом, в любой алгебре ранга содержится по меньшей мере один элемент со свойством . Такой элемент будем называть мнимой единицей алгебры . Если то любой элемент алгебры будет линейной комбинацией элементов 1 и , а поэтому получаем поле комплексных чисел или поле, ему изоморфное. Если , то в алгебре найдется элемент ,не являющийся линейной комбинацией элементов 1 и и удовлетворяющий уравнению тоже с отрицательным дискриминантом. Тогда элемент тоже будет мнимой единицей алгебры , так как . Элементы составляют линейно независимую систему над полем действительных чисел (в противном случае элемент был бы линейной комбинацией элементов 1 и ). Так как всякий элемент алгебры, не являющийся действительным числом (элементы поля, изоморфного полю R, не будем отличать от соответственных действительных чисел) удовлетворяет некоторому квадратному уравнению, то элементы и должны быть корнями некоторых уравнений с действительными коэффициентами. Тогда из следует из следует Складывая почленно равенства
с учетом получим: или (2)
Из последнего равенства ввиду линейной независимости элементов 1 следует , т. е. . Теперь из (1) получаем: (3)
где — действительное число, равное . Положим (4) Элементы — линейно независимы над полем действительных чисел, так как из линейной зависимости между ними следовала бы линейная зависимость между . Теперь, имея в виду равенство (3), получаем: т. е. этот квадрат оказывается действительным числом, которое будет даже отрицательным. В самом деле, элемент не является действительным числом, так как иначе уже между ним и единицей существовала бы линейная зависимость. Если бы число было положительным, т. е. то из следовало бы, что алгебра имеет делители нуля, так как не может равняться или . Таким образом, где — действительное число. Положим, наконец, Элементы снова будут линейно независимыми над полем , так как отличается от лишь действительным множителем. Далее, Теперь, по (3), (4), (5), получаем: Откуда имеем: (6) Положим . Если бы элемент был линейной комбинацией элементов , т. е. с действительными коэффициентами то, умножая обе части этого равенства слева на , мы получили бы или Из последнего равенства ввиду линейной независимости элементов следовало бы , что невозможно, так как — действительное число. Таким образом, элементы оказываются линейно независимыми, откуда вытекает, что . Следовательно, над полем действительных чисел алгебры ранга 3 с делением не существует. Если , то каждый элемент алгебры будет линейной комбинацией четырех элементов т. е. будет иметь вид: причем единичные элементы будут перемножаться по таблице умножения единичных элементов тела кватернионов. Например, из следуют соотношения: и другие. Таким образом, при алгебра совпадает с телом кватернионов или изоморфна телу кватернионов. Предположим, наконец, что . Тогда в алгебре существует элемент , не являющийся, линейной комбинацией элементов а потому в существует еще по меньшей мере одна мнимая единица , также не являющаяся линейной комбинацией элементов . Применяя такие же рассуждения, какими пользовались при выводе формулы (3), получим равенства: где — некоторые действительные числа. Отсюда будем иметь: т. e. Умножая обе части последнего равенства справа на , получим: или Откуда следует, что элемент является линейной комбинацией элементов в противоречие с предположением. Следовательно, случай оказывается невозможным. Этим теорема Фробениуса доказана. Из теоремы Фробениуса следует, что ассоциативно-коммутативных алгебр с делением над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма существуют только две: поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Алгебра с делением — ассоциативная, но не коммутативная, над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма существует только одна: тело кватернионов. Над полем действительных чисел существует ёще одна алгебра с делением, ранг которой равен 8. Но эта алгебра не является ни коммутативной, ни ассоциативной, так как законы коммутативности и ассоциативности не выполняются для ее базисных элементов . Эта алгебра называется алгеброй Кэли. Доказано, что размерность алгебры конечного ранга с делением может равняться только и . Следовательно, при дальнейшем повышении размерности такой алгебры у нее появляются делители нуля. Поэтому деление на элементы, отличные от нуля, становится не всегда возможным. С этими вопросами можно подробнее ознакомиться по книге: А.Г. Курош, лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|