 |
|
Тема: Аксіоматичне означення ймовірності.
Геометричні ймовірності
ПЛАН
І. Актуалізація опорних знань.
1. Дайте аксіоматичне означення ймовірності.
2. Сформулюйте властивості ймовірностей.
3. Які ймовірності називають геометричними?
ІІ. Розв’язування вправ (непарні задачі).
3.1. Гральний кубик підкидається один раз. Знайти ймовірності таких подій: А={число вічок парне}, В={число вічок кратне трьом}, С={число вічок більше двох}, D={число вічок більше двох, але менше шести}, E={число вічок не менше одного}, F={випало або 2, або 3, або 6 вічок}.
Відповідь: 1/2, 1/3, 2/3, 1/2, 1, 1/2.
3.2. З колоди в 36 карт, навмання витягується карта. Знайти ймовірності таких подій: А={витягнута карта червоної масті}, В={витягнута карта – фігура, тобто є валетом, дамою, королем або тузом}, С={витягнута карта – піка}, D={витягнута карта – дама}.
Відповідь: 1/2, 4/9, 1/4, 1/9.
3.3. Гральний кубик підкидається двічі. Результат, який спостерігається, – пара чисел, що відповідають числу вічок, які випали в перший і другий раз. Вважаючи, що елементарні події мають однакову ймовірність, знайти ймовірності таких подій:
А={обидва рази випало парне число вічок},
В={ні разу не випало чотири вічка},
С={обидва рази випало число вічок більше чотирьох},
D={обидва рази випало однакове число вічок}.
Відповідь: 1/4, 25/36, 1/9, 1/6.
3.4. Дослід полягає в тому, що підкидають дві монети – бронзову і срібну. Спостерігають випадання герба та цифри на цих монетах. Вважаючи, що елементарні події мають однакову ймовірність, знайти ймовірності таких подій: А={герб випав на бронзовій монеті}, В={цифра випала на бронзовій монеті}, С={герб випав на срібній монеті}, D={цифра випала на срібній монеті}, E={випав хоча б один герб}, F={випала хоча б одна цифра}, G={випав один герб і одна цифра}, H={не випало жодного герба}, K={випали два герба}.
Відповідь:
3.5. Знайти ймовірність того, що точка, кинута у будь-яке місце всередині кола, потрапить у вписані в це коло: а) правильний трикутник, б) квадрат.
Відповідь: 3Ö3/(4p), 2/p.
3.6. У круг радіуса R поміщено менший круг радіуса r. Знайти ймовірність того, що точка, навмання кинута у великий круг, потрапить також і в малий круг. Вважається, що ймовірність попадання точки в круг пропорційна площі круга й не залежить від його розташування.
Відповідь: r2/R2.
3.7. Абонент очікує на телефонний дзвінок протягом однієї години. Яка ймовірність того, що йому зателефонують протягом перших 15 хвилин?
Відповідь: 1/4
3.8. Між 0 і 1 навмання вибрано два числа х і у. Знайти ймовірність того, що сума цих чисел не більша ніж 1, а модуль їх різниці не менше, ніж 0.5.
Відповідь: 0.125.
3.9. Між числами 1 і –1 навмання вибирають два числа. Знайти ймовірність того, що сума квадратів цих чисел буде не більше одиниці.
Відповідь: p/4.
3.10. Навмання вибрано два дійсні числа х і у такі, що 0£х£1, 0£у£1. Яка ймовірність того, що їх сума не більше одиниці, а сума їх квадратів більше 0.25?
Відповідь: 1/2 – p/16.
3.11. Навмання вибрано два дійсні числа х і у такі, що 0£х£2, 0£у£2. Знайти ймовірність того, що у:х£2 і ху£1.
Відповідь: (1+3ln2)/8.
3.12. Два дійсних числа х і у вибирають навмання так, що |x|£3, |y|£5. Яка ймовірність того, що дріб х/у додатній?
Відповідь: 1/2.
3.13. На площині накреслено паралельні прямі на відстані 2а одна від одної. На площину навмання кидають монету радіуса r (r< a). Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодну з прямих.
Відповідь:1–r/a.
3.14. Вздовж туго натягнутої нитки підвішені голки на відстані 1 м одна від одної. Під прямим кутом до цієї нитки рухається гумова кулька діаметром 20 см. Яка ймовірність того, що кулька мине голку?
Відповідь: 4/5.
3.15. Площина розграфлена паралельними прямими, які знаходяться на відстані 2а одна від одної. На площину навмання кинута монета радіуса r < а. Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної з прямих.
Відповідь: (a–r)/a.
3.16. На площину з нанесеною сіткою квадратів із стороною а навмання кинута монета радіусу r < а/2. Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної із сторін квадрата. Вважається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі фігури і не залежить від її розташування.
Відповідь: (a–2r)2/a2.
ІІІ. Домашнє завдання (парні задачі).
Практичне заняття №4