 |
|
Тема: Теореми додавання і множення ймовірностей.
Умовна ймовірність
ПЛАН
І. Актуалізація опорних знань.
1. Дайте означення суми випадкових подій. Наведіть приклад.
2. Що називають добутком випадкових подій? Наведіть приклади.
3. Дайте означення сумісних і несумісних подій. Сформулюйте теореми додавання сумісних і несумісних подій.
4. Дайте означення залежних і незалежних подій. Наведіть приклади.
5. Яку ймовірність називають умовною? Наведіть приклад.
6. Сформулюйте теореми множення залежних і незалежних подій.
ІІ. Розв’язування вправ (непарні задачі).
4.1. Стрілок робить один постріл по мішені. Ймовірність вибити 10 очок дорівнює 0.3, а ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0.6. Чому дорівнює ймовірність вибити не менше ніж 9 очок?
Відповідь: 0.9.
4.2. Іван з ймовірністю 0.1 може піти до театру, з ймовірністю 0.25 – в кіно та з ймовірністю 0.3 може зіграти у футбол. Іван може піти лише в одне з цих місць. Яка ймовірність того, що Дмитро, вирішивши відвідати Івана, застане його вдома?
Відповідь: 0.35.
4.3. На колгоспному полі врожай збирає декілька комбайнів. Ймовірність того, що за зміну ремонту потребуватиме рівно один комбайн дорівнює 0.1, рівно два комбайни – 0.07, більше двох комбайнів – 0.03. Знайти ймовірність того, що протягом зміни жоден комбайн не потребуватиме ремонту.
Відповідь: 0.8.
4.4. Під час олімпіади уболівальник з ймовірністю 0.3 може відвідати футбол, з ймовірністю 0.4 – баскетбол і з ймовірністю 0.2 – волейбол. Грошей йому вистачить лише на відвідування одного змагання. Які ймовірності наступних подій: А = {уболівальник попав на змагання}, B = {уболівальник попав на змагання, де воротар відсутній}?
Відповідь:0.9, 0.6.
4.5. З 30 учнів класу за контрольну роботу 7 чоловік отримали оцінку “відмінно”, 15 – “добре”, і 8 – “задовільно”. Яка ймовірність того, що навмання відібрані два учня, отримали однакові оцінки?
Відповідь: »0.354.
4.6. В майстерні є три верстати. За зміну з ладу може вийти не більше одного верстата. Перший виходить з ладу з ймовірністю 0.15, другий – з ймовірністю 0.05, третій – з ймовірністю 0.1. Знайти ймовірність того, що за зміну жоден верстат не вийде з ладу.
Відповідь: 0.7.
4.7. Стрілок влучає в десятку з ймовірністю 0.05, у дев’ятку – з ймовірністю 0.2, а у вісімку – з ймовірністю 0.5. Стрілок зробив один постріл і влучив у мішень. Знайти ймовірності наступних подій: А={вибито не менше восьми очок}, В={вибито менше восьми очок}, С={вибито більше восьми очок}.
Відповідь: 0.75, 0.25, 0.25.
4.8. Підкидається гральний кубик. Події: А={випало число вічок не менше трьох}, В={випало парне число вічок}. Знайти ймовірність події С=А+В.
Відповідь: 5/6.
4.9. У корзині, в якій знаходяться 4 білих і 6 червоних кульок, навмання послідовно і без повернень витягують дві кульки. Подія: А={перша кулька червона}, B={друга кулька червона}, C={хоча б одна з витягнутих кульок червона}. Обчислити ймовірності Р(В/А), Р(А/В) і Р(А/С).
Відповідь: 5/9, 5/9, 9/13.
4.10. Один раз підкидається гральний кубик. Подія: А={випало просте число вічок}, B={випало парне число вічок}. Обчислити ймовірність Р(А/В).
Відповідь:1/3.
4.11. Ймовірність влучити в літак дорівнює 0.4, а ймовірність його збити дорівнює 0.1. Знайти ймовірність того, що при влученні в літак його буде збито.
Відповідь: 1/4.
4.12. Ймовірність того, що прилад не вийде з ладу до моменту часу t1 дорівнює 0.8, а ймовірність того, що він не вийде з ладу до моменту часу t2 (t2>t1), дорівнює 0.6. Знайти ймовірність того, що прилад, який не зіпсувався до моменту часу t1, не зіпсується і до моменту часу t2.
Відповідь: 3/4.
4.13. Підкидають навмання три гральні кубика. Спостерігаються події: A={на трьох кубиках випали три різні грані}, B={хоча б на одному кубику випала шістка}. Обчислити Р(В/А) і Р(А/В).
Відповідь: 0.5, 60/91.
4.14. Припустимо, що 5% всіх чоловіків і 0.25% всіх жінок дальтоніки. Навмання вибрана особа виявилась дальтоніком. Яка ймовірність того, що це чоловік? (Вважати, що кількість чоловіків і жінок однакова.)
Відповідь: 0.952.
4.15. Двічі підкидається гральний кубик. Яка ймовірність того, що випаде дві “3”, якщо відомо, що сума вічок, які випали, ділиться на 3?
Відповідь: 1/12.
4.16. З колоди в 32 карти навмання одна за другою витягують дві карти. Знайти ймовірність того, що:
а) витягнуті два валета;
б) витягнуті дві карти пікової масті;
в) витягнуті валет і дама.
Відповідь: 3/248, 7/124, 1/62.
4.17. Підкидають два гральних кубика. Знайти ймовірність того, що випаде принаймні одна шістка, якщо відомо, що сума вічок дорівнює 8.
Відповідь: 2/5.
4.18. 1% учнів школи – невстигаючі. Серед встигаючих учнів 60% вчаться добре і відмінно. Яка ймовірність того, що навмання вибраний учень вчиться добре або відмінно?
Відповідь: 0.594.
4.19. Прилад складається з двох незалежних в роботі блоків. Ймовірність того, що протягом деякого часу вийде з ладу перший блок, дорівнює 0.05, другий – 0.08. Для того, щоб прилад зламався, досить поломки хоча б одного блоку. Знайти ймовірність того, що прилад вийде з ладу?
Відповідь: 0.126.
4.20. В першому ящику 4 білих кульки, 11 червоних і 5 чорних, в другому – 8 білих, 6 червоних і 6 чорних. Навмання беруть по одній кульці з кожного ящика. Яка ймовірність того, що вони одного кольору?
Відповідь: 0.32.
4.21. Студент може поїхати в інститут або автобусом, який ходить через кожні 20 хв, або тролейбусом, який ходить через кожні 10 хв. Яка ймовірність того, що студент, який підійшов до зупинки, поїде протягом наступних п’яти хвилин?
Відповідь: 5/8.
4.22. Ймовірність влучення в мішень при одному пострілі для першого стрільця дорівнює р1, для другого – р2. Стрільці зробили по одному пострілу в мішень. Вважаючи, що влучення в мішень кожним із стрільців є незалежними подіями, знайти ймовірність таких подій: А={жодного влучення в мішень}, B={лише одне влучення в мішень}.
Відповідь: Р(А)=(1–р1)(1–р2), Р(В)=р1+р2–2р1р2.
4.23. За даними перепису населення (1891 р.) Англії й Уельсу встановлено: темноокі батьки й темноокі сини (АВ) склали 5% обстежених осіб, темноокі батьки й світлоокі сини ( 
) – 7,9%, світлоокі батьки і темноокі сини 
– 8,9%, світлоокі батьки й світлоокі сини ( 
) – 78,2%. Знайти зв'язок між кольором очей батька і сина.
Відповідь: 0.898.
4.24. На стелажі бібліотеки у випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому п'ять з них в палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б один з узятих підручників опиниться в палітурці.
Відповідь: 67/91.
4.25. В ящику 10 деталей, із яких чотири зафарбовані. Складальник навмання узяв три деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з узятих деталей зафарбована.
Відповідь: 5/6.
ІІІ. Домашнє завдання (парні задачі).
Практичне заняття №5