Главная | Обратная связь

Система комплексных чисел

В системе действительных чисел есть один существенный недостаток – там не существует квадратных корней из отрицательных чисел. Поэтому естественно поставить следующую задачу: построить некоторую числовую систему, включающую в себя все действительные числа R и корень уравнения x²+1=0 (1). Под числовой системой пока будем понимать некоторое множество с операциями сложения и умножения, свойства которых аналогичны свойствам операций над действительными числами (позже будет приведено точное ее определение – понятие поля). Так как действительные числа мы обычно отождествляем с точками числовой оси, то в качестве новых чисел можно попробовать взять точки плоскости.

I. Обозначим через С множество всех точек плоскости. Каждую точку α задаем её координатами: α=(a,b). Во множестве С введем операции над точками по следующим правилам: если α=(a,b) и β=(c,d), то полагаем

α+β=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (2)

αβ=(a,b)∙(c,d)=(ac-bd,ad+bc). (3)

Определение. Множество С всех точек плоскости, рассматриваемых вместе с операциями сложения и умножения, совершаемых по правилам (2) и (3), называется системой комплексных чисел.

Замечание 1. Операция умножения (3) кажется какой-то искусственной. Однако, когда мы узнаем алгебраическую форму комплексного числа, она становится естественной и легко запоминается.

Нетрудно проверить, что для комплексных чисел остаются справедливыми все известные свойства операций над действительными числами. Проверим часть из них с использованием правил (2) и (3). Ниже в 1– 9 α, β, γ – любые комплексные числа.

1. Коммутативный закон сложения: α+β=β+α.

2. Ассоциативный закон сложения: α+(β+γ)=(α+β)+γ.

3. Найдется пара (0,0) С такая, что (a,b)+(0,0)=(a,b) для любых действительных чисел a,b; пара (0,0) – это нулевой элемент в С.

4. Для каждого числа α=(a,b) С существует (-α) =(-a,-b) в С такое, что α+(-α)=(0,0).

5. Коммутативный закон умножения: α∙β=β∙α.

Действительно, (c,d)∙(a,b)=(ca-db, cb+da)=(a,b)∙(c,d).

6. Ассоциативный закон умножения: α∙(β∙γ)=(α∙β)∙γ.

7. Существует пара (1,0) С такая, что (a,b)∙(1,0)=(a,b) для любых действительных чисел a,b (пара (1,0) – это единичный элемент в С).

8. Для любого α С\(0,0) существует обратный элемент α^-1 в С такой, что α ∙ α^-1 =(1,0).

Доказательство. Пусть α=(a,b)≠(0,0) и пусть для некоторой пары (x,y) выполняется (a,b)∙(x,y)=(1,0). По правилу умножения (3) имеем:

(ax-by,ay+bx)=(1,0). Это равенство равносильно следующей системе уравнений:

. Определитель этой системы равен a²+b²≠0, т.е. по теореме Крамера она имеет единственное решение (x ₀,y₀) такое, что (a,b)∙(x₀,y₀)=(1,0). Значит, α^-1=(x_0, y₀).

9. Дистрибутивный закон: α∙(β+γ)=α∙β+α∙γ.

Таким образом, поставленная выше задача частично решена. Построена система, «похожая» на систему действительных чисел R.

Замечание 2. Во множестве С теперь нетрудно ввести вычитание и деление, полагая α-β=α+(-β) и α:β=α∙β^-1, β≠0. Таким образом, во множестве С, как и в R, определены четыре операции.

II. Докажем, что С R.

Обозначим через S множество всех точек оси ОХ:

S={(a,0) | a R}.

По правилу (2) имеем: (a,0)+(c,0)=(a+c,0+0)=(a+c,0) S; по правилу (3) (a,0)∙(c,0)=(ac-0,a∙0+c∙0)=(ac,0) S. Мы видим, что точки из S складываются и умножаются так же, как действительные числа – их первые координаты.

Поэтому мы можем отождествить точки (а,0) с действительными числами а, т.е. считать (а,0)=а (4) (отметим, что строгое обоснование этого отождествления будет дано позже в §6 гл. 6 после введения понятия изоморфизма полей). Таким образом, на основании (4) имеем: S=R. Значит, С S=R, т.е. С содержит R.

III. Найдем в множестве С корень уравнения x²+1=0. Для этого рассмотрим точку (0,1). Пользуясь правилом умножения (3), находим:

(0,1)²= (0,1) ∙(0,1)=(0∙0-1∙1, 0∙1+1∙0)=(-1,0)=-1; значит, (0,1)²=-1.

Точку (0,1) обозначают через i; тогда i²=-1 или i²+1=0. Среди комплексных чисел найден корень уравнения (1) – это число i.

Поставленная в начале задача решена.

Замечание 3. Часто комплексные числа вводятся как упорядоченные пары (a,b), где a, b Î R, с операциями (2) и (3). Можно показать, что с алгебраической точки зрения получится то же самое, что и выше.

Замечание 4.Мы видим, что комплексные числа во многом похожи на действительные, но для комплексных чисел нельзя естественным образом ввести понятие «больше», которое есть у действительных чисел.