Некоторые следствия из аксиом кольца
Определение 2. Разностью элементов а и b из кольца К назовем . Из аксиом кольца нетрудно получить: 1. . По определению разности: . Умножим обе части на с: (a – b)c + bc =ac. Отсюда (a – b)c = ac –- bc (использовалось определение 2). 2. .Действительно, (мы использовали свойство 1). 3. . (9) , т.е. ; значит, справедливо равенство (3). Замечание 2. Мы видим, что в кольце выполняются три операции: сложение, вычитание и умножение. Деления в кольце может и не быть. Например, в кольце целых чисел нельзя выполнить деление числа 2 на 4, т.к. результат операции должен быть элементом этого же кольца. Делители нуля Определение 3. Пусть К – кольцо. Элементы называются делителями нуля, если , , но . Во многих кольцах делителей нуля нет; такими являются, например, все числовые кольца, т.е. кольца, содержащиеся в С. Однако, делители нуля есть в кольцах Mn(R) и Ф. Например, матрицы . являются делителями нуля в Mn(R), т.к.
Утверждение. В кольце без делителей нуля можно производить сокращения на ненулевые элементы, т.е. если (1) и (2), то . (3) Доказательство. Из равенства (1) имеем: . В силу дистрибутивного закона для разности отсюда получаем: (4). Т.к. в рассматриваемом кольце по условию нет делителей нуля, то из равенств (4) и (2) следует: , т.е. b=c. Равенство (3) доказано. Замечание 3. В кольцах с делителями нуля сокращать можно не всегда, даже на ненулевые элементы. Поля Определение 1. Кольцо Р называется полем, если 1.P≠0; 2. в Р существует единичный элемент 1; 3. для любого ненулевого элемента а из Р существует обратный элемент а-1 , т.е. ; 4. умножение коммутативно. Примеры полей: 1. Множество рациональных чисел Q. 2. Множество действительных чисел R. 3. Множество комплексных чисел C. 4. Множество Р2={0,1} с новым правилом сложения: 1+1=0 (в остальном сложение и умножение 0 и 1 обычное). Это единственный пока пример конечного поля (поле Р2 можно представить, как поле из двух элементов – четные числа (0) и нечетные числа (1)). Определение поля можно дать и более компактно. Определение 2. Множество Р, в котором определены две алгебраические операции – сложение и умножение, называется полем, если 1.. 2. Р – коммутативная группа по сложению. 3. Р\0 – коммутативная группа по умножению. 4. В Р выполняется дистрибутивный закон.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|