Наибольший общий делитель
Пусть даны произвольные многочлены f(x) и g(x) из P[x]. Многочлен (x)ÎP[x] будет называться общим делителем f(x) и g(x), если он служит делителем каждого из этих многочленов. Свойство V (см. выше) показывает, что к числу общих делителей многочленов f(x) и g(x) принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называются взаимно простыми. В общем же случае многочлены f(x) и g(x) могут обладать общими делителями, зависящими от х, и мы хотим ввести понятие о наибольшем общем делителе этих многочленов. Если это делать по аналогии с целыми числами, то наибольшим общим делителем f(x) и g(x) надо называть их общий делитель, который больше всех остальных; но для многочленов (и даже для комплексных чисел) нельзя ввести естественным образом понятия > и <. Поэтому мы поступим иначе. Определение 1. Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов f(x) и g(x) из P[x] называется такой многочлен d(x) из P[x], который является их общим делителем и сам делится на любой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов f(х) и g(x) символом (f(х), g(x)) и пишется: d(x) = (f(х), g(x)). Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых ненулевых многочленов f(x) и g(x). Ниже на этот вопрос будет дан положительный ответ. Одновременно будет дан метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов. Понятно, что мы не можем перенести сюда тот способ, каким обычно разыскивается наибольший общий делитель целых чисел (связанный с разложением на простые множители), так как пока не имеем для многочленов ничего аналогичного такому разложению целого числа. Для целых чисел существует и другой способ, называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида; этот способ вполне применим и к многочленам.
Алгоритм Евклида Алгоритм Евклида для многочленов состоит в следующем: Пусть даны многочлены f(x) и g(x) из P[x]. Делим f(x) на g(x) и получаем некоторый остаток r1(х) Î P[x]. Если r1(х)¹0, то делим затем g(x) на r1(х) и получаем остаток r2 (х) Î P[x]; делим r1(х) на r2 (х) и и т. д. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы должны дойти до такого места, на котором деление совершится нацело и поэтому процесс остановится. Докажем, что тот остаток rk(х), на который нацело делится предыдущий остаток rk-1(x), и будет наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x), т.е. rk(х)=( f(x), g(x)). (1) Для доказательства запишем указанные выше деления с остатком в виде следующей цепочки равенств: . (2) I. Покажем, что rk(x) – общий делитель f(x) и g(x). Последнее из равенств (2) показывает, что rk(x) служит делителем для rk-1(x). Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на rk(x), а поэтому rk(x) будет делителем и для rk-2(x). Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что rk(x) является делителем и для rk-3(x), ..., r2(x), r1(x). Отсюда, ввиду второго (сверху) из равенств (2), будет следовать, что rk(x) служит делителем для g(x), а поэтому, на основании первого равенства, – и для f(x). Таким образом, rk(x) является общим делителем f(x) и g(x). II. Докажем теперь, что произвольный общий делитель q(x) Î P[x] многочленов f(х) и g(x) является делителем rk(x). Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств (2) делятся на q(x), то r1(x) также будет делиться на q(х) (в этом легко убедиться, если в правой части этого равенства оставить только r1(x)). Переходя ко второму и следующему равенствам, мы таким же способом получим, что на q(х) делятся многочлены r2(x), r3(x),……. Наконец, если уже будет доказано, что rk-2(x) и rk-1(x) делятся на q(x), то из предпоследнего равенства мы получим, что rk(x) делится на q(х). Таким образом, rk(x) на самом деле будет наибольшим общим делителем f(x) и g(x), причем rk(x) Î P[x]. Равенство (1) доказано. Следовательно, мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ для его вычисления. Отметим, что хотя у многочленов могут существовать и общие делители из S[x], где S – некоторое расширение P, но (f(x),g(x)) все равно принадлежит P[x]. Так, многочлены с рациональными коэффициентами f(x)=x3-3x2-2x+6, g(x)= x3+x2-2x-2 имеют наибольшим общим делителем многочлен из кольца Q[x] (x2-2), хотя у них есть общий делитель (x ) из кольца R[x] . Сколько наибольших делителей имеет пара многочленов f(x), g(x)? Если d(x) есть их наибольший общий делитель, то, как показывают свойство IX из §3 этой главы, в качестве наибольшего общего делителя этих многочленов можно было бы выбрать также многочлен cd(x), где с – произвольное число из поля P, отличное от нуля. Обратно, если d(x) и d1(x) – два наибольших общих делителя f(x) и g(x), то по свойству VIII d1(x)=cd(x) для некоторого с Î P\0. Значит, cd(x) – все наибольшие общие делители f(x) и g(x). Иными словами, наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени. Ввиду этого можно условиться, что старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов будет всегда считаться равным единице. Используя это условие, можно сказать, что два многочлена тогда и только тогда взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен единице. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|