Ортогональные системы векторов
Определение 1. Два вектора a и b евклидова пространства V называются ортогональными, если (a, b)=0. Легко проверяется, что (0, b)=0: (0, b)= (0a, b)= 0(a, b)=0. Определение 2. Система векторов а1,…,аs (1) евклидова пространства V называется ортогональной, если любые ее векторы ортогональны, т.е. (аi, aj)=0 (2) для любых i, j при i j (i, j=1,...,s) Теорема 1.Всякая ортогональная система (1) ненулевых векторов линейно независима. Доказательство. Пусть дана система векторов (1) с условием (2). Составим уравнение, где x1, ..., xs – неизвестные числа: x1a1+...+xiai+...+xsas=0 (3). Умножая равенство (3) скалярно на вектор ai, получим: x1(a1,ai)+...+ Теорема доказана. Один способ построения ортогональных систем ненулевых векторов приводится ниже в теореме 2. Теорема 2.Пусть в евклидовом пространстве V задана линейно независимая система a1,...,as (5). Тогда в V существует ортогональная система b1,...,bs (6), удовлетворяющая условиям: 1. b1= a1; 2. bk Î <a1,a2,...,ak>; 3. bk 0 для любого k=1,…,s. Доказательство. Будем доказывать эту теорему индукцией по числу s. При s=1 она верна: полагаем b1= a1. Предположим, что уже построена система b1,...,bi-1 (7), удовлетворяющая условиям 1, 2, 3 при k≤ i-1, и векторы (7) попарно ортогональны. Вектор bi будем искать в виде bi= ai+a1b1+...+ai-1bi-1 (8), где aj – неизвестные числа. Мы найдем их из условий (bi, bj)=0 (9) для любого j=1,…,i-1. Для нахождения aj равенство (8) умножим скалярно на bj: (bi, bj)=0=( ai, bj)+ a1(b1, bj)+...+ aj(bj, bj)+...+ ai-1(bi-1, bj). Ввиду условий (9) из этого равенства получаем: 0= ( ai, bj) + aj(bj, bj), откуда (10) (отметим, что (bj, bj)≠0, ибо bj≠0 по предположению индукции). Если числа aj из (10) подставить в (8), то мы получим вектор bi , ортогональный всем векторам системы (7), т.е. система b1,...,bi-1,bi (11) будет ортогональной. Отметим, что ввиду предположения индукции {b1,...,bi-1}Î <a1,...,ai-1> (12); поэтому каждый из векторов (7) линейно выражается через векторы a1,...,ai-1. Подставляя эти выражения в (8), мы получим: bi= ai+j1a1+...+ji-1ai-1 (13). Это означает, что выполняется условие 2 для bi. Если бы bi =0, то из (13) следовало бы, что система (1) линейно зависима, что противоречит условию. Итак, мы построили такой вектор bi, что система (11) удовлетворяет всем требованиям теоремы для i векторов (i £ s). Такое построение можно продолжать до тех пор, пока не используются все векторы системы (5), т.е. получаем ортогональную систему ненулевых векторов (6), удовлетворяющую условиям 1 – 3. Теорема доказана. Определение 3.Переход от линейно независимой системы (5) к построенной выше ортогональной системе (6) называется процессом ортогонализации. Определение 4.Базис a1,...,an n-мерного евклидова пространства Vn называется ортогональным базисом, если он является ортогональной системой. Из теорем 1 и 2 вытекает справедливость следующих утверждений. Следствие 1.Во всяком конечномерном евклидовом пространстве Vn существует ортогональный базис. Доказательство. По условию в Vn существует базис a1,...,an (14). С помощью процесса ортогонализации из него можно получить ортогональную систему из n ненулевых векторов b1,...,bn (15). По теореме 1 она линейно независима. Так как число ее векторов равно dim Vn, то (15) – базис Vn. Это искомый ортогональный базис. Следствие 2.Всякий ненулевой вектор евклидова пространства Vn при n³2 содержится в некотором ортогональном базисе этого пространства. Для доказательства дополняем этот вектор до базиса Vn и подвергаем этот базис процессу ортогонализации. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|