Главная | Обратная связь

Ортонормированные базисы

О значимости ортонормированных базисов свидетельствует теорема 4.

Теорема 4.Базис (5) евклидова пространства V_n является ортонормированным тогда и только тогда, когда для любых векторов a, b Î V_n их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат в этом базисе, т.е. (6), где –координатный столбец вектора а, –координатный столбец вектора b в базисе е.

Необходимость. Пусть (5) – ортонормированный базис V_n. Имеем: , . Тогда , т.к. (e_i, e_j)=0 при i j, а (е_i,е_i)=1.

Справедливость равенства (6) доказана.

Достаточность. Пусть в базисе (5) скалярное произведение вычисляется по формуле (6) для любых a, b Î V_n. Рассмотрим e_i=0∙e₁+...+1∙e_i+…+0∙e_n и e_j=0∙e₁+...+1∙e_j+...+0∙e_i +…+0∙e_n.

По формуле (6) имеем: (e_i,e_i)=0∙0+...+1∙1+...+0∙0=1, (e_i,e_j)=0∙0+...+0∙1+...+1∙0+...+0∙0=0. Значит, базис (6) – ортонормированный.

Теорема доказана.

Следствие 1.Пусть в линейном пространстве V_n задан некоторый базис a₁,…,a_n (8). Тогда V_n можно превратить в евклидово пространство так, что базис (8) будет ортонормированным.

Доказательство. По теореме о превращении конечномерного линейного пространства в евклидово пространство V_n можно превратить в евклидово пространство, задав в нем скалярное произведение векторов как сумму произведений их соответствующих координат в базисе (8). В силу теоремы 3 тогда (8) становится ортонормированным базисом.

Следствие 2.Если в конечномерном линейном пространстве L_n любым способом задано скалярное произведение, то в нем найдется такой базис, в котором скалярное произведение будет вычисляться по формуле .

Действительно, таким базисом будет ортонормированный базис. Его существование доказано ранее, а эта формула установлена в теореме 3.

Замечание 1. Следствие 2 показывает, что способ превращения конечномерного линейного пространства в евклидово, указанный в теореме 1, является универсальным. Этим мы ответили на вопрос 2 из замечания 2 §1 этой главы: каким бы способом в конечномерном линейном пространстве ни вводилось скалярное произведение, его можно свести к способу, указанному в теореме 1.