Изоморфизм евклидовых пространств
Определение 5. Два евклидовых пространства V и V’ называются изоморфными, если существует биекция φ: V→V’, удовлетворяющая условиям: 1) φ – изоморфизм линейных пространств V и V’; 2) при отображении φ сохраняется скалярное произведение, т.е. (φ(a), φ(b))=(a, b) для любых a, b Î V. Такое отображение φ называется изоморфным отображением или изоморфизмом евклидовых пространств V и V’. Теорема (критерий изоморфизма конечномерных евклидовых пространств). Два конечномерных евклидовых пространства V и V’ изоморфны тогда и только тогда, когда dimV=dimV’ (10). Необходимость. Пусть V V’. Тогда по определению 5 они изоморфны, как линейные пространства, и, как известно, выполняется (10). Достаточность. Пусть dimV=dimV’=n (11). Выберем в V ортонормированный базис e1,…,en (12), в V’ –ортонормированный базис e’1,…,e’n (13). Возьмем любой вектор а из V: . Определим отображение φ так: полагаем (15). Нетрудно проверить, что φ – изоморфизм линейных пространств V и V’. Покажем, что при отображении φ сохраняется скалярное произведение. Пусть (16). По определению φ имеем: (17). Так как базис (12) ортонормированный, то по теореме 4 (18). Но базис (13) также ортонормированный, и поэтому (19). Из (18) и (19) получаем: . Значит, φ – изоморфизм евклидовых пространств V и V’, т.е. V V’. Теорема доказана. Следствие.Если конечномерное действительное линейное пространство L любыми способами превращается в евклидово пространство, то получаются изоморфные евклидовы пространства (так как их размерность одна и та же и равна dim L). Этим мы ответили на вопрос 1 из замечания 2 §1 этой главы. §6. Ортогональные дополнения подпространств Определение.Множество Н┴ всех векторов евклидова пространства V, ортогональных к каждому вектору его подпространства Н, называют ортогональным дополнением к Н. Пример. В евклидовом пространстве векторов-отрезков на плоскости ОХ┴=ОУ. Теорема 1.Ортогональное дополнение Н┴ к подпространству Н евклидова пространства V является подпространством V. Доказательство. Пусть у1,у2 Н┴. Тогда для любого вектора х Н имеем: (х, у1)=0 и (х, у2)=0. Следовательно, (х, у1+у2)= (х, у1)+(х, у2)=0, т.е. вектор у1+у2 ортогонален любому вектору х Н. Это означает, что (у1+у2) Н┴. Мы доказали, что сумма любых двух векторов множества Н┴ принадлежит Н┴. Аналогично для любого действительного числа λ и любого х Н имеем: (х, λ у1)= λ(х, у1)= λ∙0= 0, т.е. вектор λу1 ортогонален любому вектору х Н, а значит, принадлежит Н┴. Таким образом, множество Н┴ замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа и, следовательно, является подпространством евклидова пространства V. Теорема доказана. Теорема 2.Пусть V – конечномерное евклидово пространство, Н – его подпространство. Тогда справедливо равенство: V=Н Н┴. Доказательство. Рассмотрим Н∩Н┴. Пусть (Н∩Н┴) h. Тогда (h,h)=0, и поэтому h=0 и Н∩Н┴=0. Докажем, что V=Н+Н┴. В Н выберем ортогональный базис h1,…,hs (он существует, так как Н – конечномерное евклидово пространство). Его можно дополнить до базиса V. Пусть h1,…,hs, hs+1,…,hn (1) – такой базис. Если к (1) применить процесс ортогонализации, начиная с вектора hs+1, то из (1) получится ортогональный базис V: h1,…,hs, bs+1,…,bn. Имеем: H = < h1,…,hs > (2). Рассмотрим подпространство S=< bs+1,…,bn > (3). Очевидно, что S Н┴, так как любой вектор h Н представим в виде и , ибо . Далее . Отсюда, учитывая (2) и (3), следует, что а (Н+S). Следовательно, V= Н+S, а так как S Н┴, то V=Н+Н┴. Но (Н∩Н┴)=0, и поэтому V=Н Н┴. Теорема доказана. §7. Унитарные пространства Для случая линейных пространств над полем С комплексных чисел понятие скалярного произведения несколько видоизменяется, точнее, изменяется аксиома 1 и частично аксиома 4. Определение 6.Будем говорить, что в линейном пространстве L над полем С определено скалярное произведение, если любой упорядоченной паре a, b L поставлено в соответствие единственное комплексное число (a, b) и выполняются следующие требования для любых a, b, с L и любого a C: 1) ; 2) (a+b, c)=(a,c)+(b,c); 3) (aa,b)=(a,b); 4) (a,a) ÎR и (a,a)>0 при а 0. Определение 7. Линейное пространство над С, в котором задано скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1) –4), называется унитарным пространством. Для большинства результатов, полученных в теории евклидовых пространств, можно получить близкие к ним утверждения и для унитарных пространств. В частности, отметим, что и в ортонормированных базисах унитарного пространства скалярное произведение вычисляется по такой формуле: . С основными результатами, полученными в теории унитарных пространств, можно ознакомиться, например, по книгам [5] и [3]. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|