 |
|
Библиографический список
1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. СПб: Лань, 2006.
2. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры. М.: Физматлит, 2000.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2. Линейная алгебра. М: Физматлит, 2000.
4. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. СПб.: Лань, 1999.
5. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003.
6. Михалев А.В., Михалев А.А. Начала алгебры. Ч.1. Интернет-университет информационных технологий. М., 2005.
7. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1979.
8. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука. 1984.
9. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит,
2001.
10. Головина Л.Н. Линейная алгебра и некоторые её приложения. М: Наука, 1975.
11. Половицкий Я.Д. Алгебра: учеб. пособие. Пермь, 2007. Ч.1.
12. Половицкий Я.Д. Алгебра: учеб. пособие. Пермь, 2008. Ч.2.
Оглавление
Введение……………………………………………………………………3
Основные обозначения……………………………………………………4
ЧАСТЬ 1…………………………………………………………………...4
ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА………………………………...4
§1. Система комплексных чисел……………………………………….4
§2. Алгебраическая форма комплексного числа………………………6
§3. Тригонометрическая форма комплексного числа………………...7
§4. Сопряженные числа…………………………………………………9
§5. Возведение комплексных чисел в степень……………………….10
§6. Извлечение корня из комплексного числа……………………….11
§7. Решение квадратных уравнений……………………………….....14
§8. Корни из единицы………………………………………………….15
ГЛАВА 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ………………………….18
§1. Основные определения……………………………………………18
§2. Умножение отображений………………………………………….20
§3. Преобразование множеств………………………………………...23
ГЛАВА 3. ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИ………………...24
§1. Перестановки из n чисел…………………………………………..24
§2. Подстановки n-ой степени………………………………………...25
ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ N-ГО ПОРЯДКА…………………….28
§1. Определение определителя………………………………………..28
§2. Свойства определителей…………………………………………..28
§3. Вычисление определителей……………………………………….33
§4. Ещё одно свойство определителей……………………………….37
ГЛАВА 5. МАТРИЦЫ………………………………………………….38
§1. Простые и двойные суммы………………………………………..38
§2. Линейные преобразования неизвестнх…………………………...39
§3. Умножение матриц………………………………………………...41
§4. Обратная матрица………………………………………………….42
§5. Решение матричных уравнений…………………………………..45
ГЛАВА 6. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ…...48
§1. Алгебраическая операция ………………………………………...48
§2. Группы……………………………………………………………...48
§3. Кольца………………………………………………………………50
§4. Поля…………………………………………………………………51
§5. Подполя и расширения полей……………………………………..53
§6. Изоморфизм колец (полей)………………………………………..54
§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений…………………………………………………………….55
§8. Определители и матрицы над произвольным полем……………56
ГЛАВА 7. МНОГОЧЛЕНЫ И ИХ КОРНИ………………………….57
§1. Кольцо многочленов……………………………………………….57
§2. Деление с остатком………………………………………………...60
§3. Делители. Свойства делимости многочленов……………………62
§4. Наибольший общий делитель……………………………………..65
§5. Корни многочленов………………………………………………..70
§6. Число корней многочлена в произвольном поле………………...73
§7. Формулы Виета…………………………………………………….76
§8. Основная теорема алгебры комплексных чисел…………………76
§9. Многочлены с действительными коэффициентами……………..79
§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями С и R..80
ГЛАВА 8. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА…………………………84
§1. Определение линейного пространства…………………………...84
§2. Линейная зависимость векторов………………………………….86
§3. Максимальные линейно независимые подсистемы……………..88
§4. Основная теорема о линейной зависимости. Её следствия……..90
§5. Конечномерные линейные пространства………………………...93
§6. Изоморфизм линейных пространств……………………………...96
§7. Координаты вектора……………………………………………….98
§8. Матрица перехода………………………………………………….99
§9. Подпространства линейного пространства……………………..101
ГЛАВА 9. РАНГ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………………………………………………………..104
§1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре…………………….104
§2. Системы линейных уравнений…………………………………..109
§3. Задание подпространств конечномерных линейных пространств системами линейных однородных уравнений……………………...118
§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений……………………………………………………………..120
ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ……………………………………………………….122
§1. Линейные отображения линейных пространств………………..122
§2. Линейные преобразования линейных пространств…………….123
§3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства…………………………..125
§4. Операции над линейными преобразованиями………………….128
§5. Ядро и область значений линейного преобразования………….130
§6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования……………………………………………………….133
§7. Линейные преобразования с простым спектром……………….136
ЧАСТЬ 2………………………………………………………………..138
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ………………………………..............................138
§1. Линейные функции……………………………………………….138
§2. Билинейные функции…………………………………………….139
§3. Квадратичные формы……………….............................................140
Переход к новому базису………………………………………….142
§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.……143
Комплексный нормальный вид……………………………………147
Действительный нормальный вид………………………………...147
§5. Закон инерции действительных квадратичных форм..…..…….148
Положительно определенные квадратичные формы…………….150
ГЛАВА 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА……………………...152
§1. Скалярное произведение…………………………………………152
§2. Ортогональные системы векторов………………………………153
§3. Длина вектора. Угол между векторами…………………………153
§4. Ортонормированные базисы…………………………………….157
§5. Изоморфизм евклидовых пространств………………………….158
§6. Ортогональные дополнения подпространств…………………..160
§7. Унитарные пространства………………………………………...161
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ………..161
§1. Ортогональные матрицы…………………………………………161
Свойства ортогональных матриц………………………………….162
§2. Сопряженные линейные преобразования……………………….163
§3. Ортогональные преобразования…………………………………165
§4. Симметрические преобразования……………………………….166
§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях……….168
§6. Приведение квадратичной формы к главным осям…………….170
Практическое приведение к главным осям………………………171
Практическое нахождение СОН-базиса…………………………..171
ГЛАВА 4. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ………………………………………………….173
§1. Определение аффинного пространства………………………...173
§2. Система координат в аффинном пространстве…………………174
§3. Плоскости в аффинных пространствах…………………………176
§4. Аффинные преобразования……………………………………...181
§5. Точечно-векторные евклидовы пространства. Группы и геометрии……………………………………………………………...184
Группы и геометрии………………………………………………..185
ГЛАВА 5. КВАДРИКИ………………………………………………..186
§1. Квадрики в аффинных пространствах…………………………..186
§2. Метрическая классификация квадрик…………………………..190
§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду………………………………………………….193
ГЛАВА 6. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ………………………………………………………194
§1. Кольцо многочленов от n неизвестных…………………………194
§2. Симметрические многочлены…………………………………...196
§3. Однородные симметрические многочлены……………………..198
§4. Значение симметрического многочлена от корней уравнения..199
Библиографический список………………………………………….201
Учебное издание