 |
|
Явища переносу в газах. Рівняння переносу.
Хаотичний рух молекул газу веде до безперервного перемішування газу. З цим пов’язаний ряд важливих явищ, що відбуваються в газах.
Якщо в різних частинах об’єму газу густина була спочатку неоднаковою, то з часом вона вирівнюється. Також, якщо два різних гази дотикаються, то вони рівномірно перемішуються між собою. Це явище називається дифузією.
Дифузія – розповсюдження речовини в деякому середовищі в напрямі зменшення її концентрації, зумовлене тепловим рухом атомів, молекул, іонів і інших більш великих частинок.
В об’ємі газу, частини якого мають різну температуру, відбувається поступове вирівнювання температури внаслідок переносу молекулами своєї енергії. Це явище називається теплопровідністю.
Теплопровідність – один з видів теплообміну, при якому перенесення енергії в формі теплоти в нерівномірно нагрітому середовищі має атомно-молекулярний характер (не пов’язаний з макроскопічним рухом речовини).
В’язкість (внутрішнє тертя) рідин і газів - властивість рідин і газів чинити опір переміщенню однієї їх частини відносно іншої.
Всі вище названі явища зумовлені однією причиною – переносом молекулами газу в процесі хаотичного руху своїх характеристик:
маси – дифузія
енергія - теплопровідність
імпульсу руху – внутрішнє тертя (в’язкість)
Тому механізм всіх цих явищ однаковий і всі вони об’єднані спільною назвою явищ переносу .
Виходячи з уявлень МКТ виведемо загальне для явищ переносу рівняння переносу.
З цією метою визначимо перш за все кількість молекул , що проходять за проміжок часу dt крізь деяку уявну площадку dS, розміщену в газі (мал.1).
|
|
Мал.1
Внаслідок хаотичного руху молекул припустимо, що вздовж кожної з осей рухається 1/3 частина всіх молекул :тому 1/6 частина – зліва направо і 1/6 частина – справа наліво. Тоді за одиницю часу крізь площадку dS пройде зліва направо 1/6 частина всіх молекул, що знаходяться в об’ємі прямокутного паралелепіпеду з основою dS і висотою, що дорівнює середній швидкості 
руху молекул, тобто
де 
- кількість молекул в одиниці об’єму газу (концентрація молекул).
Отже, кількість молекул N , що проходять крізь площадку 
за час dt в одному напрямі, визначається формулою
Ці молекули переносять крізь площадку і значення своїх фізичних характеристик (масу, енергію, імпульс).
Розглядаючи загальний механізм переносу, поки що не будемо конкретизувати, яку саме фізичну характеристику переносять молекули і позначимо її 
.Тоді кількість фізичної характеристики, перенесеної молекулами в одному напрямі крізь площадку за час dt, визначиться формулою
(1)
Очевидно, що така ж кількість буде перенесена в зворотному напрямі.
Припустимо тепер, що газ неоднорідний за своїми властивостями, тобто концентрація n його різна в різних місцях об’єму газу і самі молекули мають неоднакові значення фізичної величини . Тоді кількість величини 
, що міститься в одиниці об’єму газу також буде різною в різних місцях об’єму газу. Нехай кількість зменшується в додатному напрямі осі Ох, дорівнюючи ( )1 зліва від площадки dS . В цьому випадку має місце переважне перенесення фізичної величини 
крізь площадку dS зліва направо (мал..2)
мал.2
Згідно формулі (1) воно дорівнює :
(2)
Залишається вияснити, виходячи з фізичних уявлень, на якій відстані від площадки dS слід взяти значення . Обмін значеннями і зміна концентрації відбувається тільки при взаємних зіткненнях молекул, тобто на відстані 
, що дорівнює середній довжині вільного пробігу молекули. Тому, можна припустити, що значення величини зберігається незмінним на відстані вліво і вправо від dS . На цих відстанях і будемо брати значення . Помноживши і поділивши на 2 праву частину формули (2), отримаємо:
(3)
Як видно з мал. відношення 
є градієнтом величини 
, який ми позначимо символом 
. Градієнтом фізичної величини називається її зміна, що припадає на одиницю відстані в напрямі найбільшого збільшення. Отже, градієнт є вектор, направлений в бік найбільшого зростання фізичної величини . Тоді формула (3) прийме вид :
(4)
Знак „мінус” зумовлений тим, що перенесення фізичної величини відбувається в напрямі протилежному градієнту (градієнт направлений справа наліво, а перенесення - зліва направо).
Формула (4) називається рівнянням переносу . На основі цього рівняння розглянемо конкретні явища переносу: дифузію, теплопровідність, внутрішнє тертя.
Дифузія.
Нехай в деякому об’ємі газу має місце неоднорідність густини. Густина 
зменшується в напрямі осі Ох (мал.3)
, де 
Це може бути, наприклад, у випадку, коли в лівій частині об’єму знаходиться джерело газу О (рідина, що випаровується) .
Позначимо через 
і 
значення густини на відстані зліва і справа від dS .
Тоді > , бо 
(за значенням) , де m – маса молекули, однакова для всіх молекул газу, але 
, тобто концентрація молекул зменшується в напрямі осі Ох разом з густиною. Застосуємо рівняння переносу (4). Відмітимо, що в даному випадку фізичною характеристикою, що переноситься, є маса молекул, тобто
тому 
(5),
де 
(5)
де Dm – маса газу, що переноситься шляхом дифузії за час dt крізь площадку dS, перпендикулярну напряму зменшення густини. Підставивши вираз (5) в рівняння переносу (4) , одержимо:
(6)
Позначивши D= 
(7)
Отримаємо 
(8)
Звідки слідує, що маса газу dM, що переноситься завдяки дифузії крізь площадку dS, перпендикулярну до напряму осі Ох в якому зменшується густина, пропорційна розміру цієї площадки , проміжку часу dT переносу і градієнту густини 
.
Формула (8) називається рівнянням дифузії чи законом Фіка, бо німецький фізик Фік отримав таке ж рівняння з дослідів з рідинами.
Коефіцієнт пропорційності D називається коефіцієнтом дифузії.
Встановимо фізичний зміст коефіцієнта дифузії D, вважаючи в формулі (8) dS=1м2
Dt=1c, =-1кг/м4 , то D= dM , тобто коефіцієнт дифузії чисельно дорівнює масі газу, що переноситься крізь площадку в 1м2 за1с. при градієнті густини в -1кг/м4
З формули (7) і (8) слідує, що коефіцієнт дифузії вимірюється в 
.
Теплопровідність.
Нехай в деякому об’ємі газу Т температура зменшується у напрямі осі Ох (мал.4)
Це може мати місце, наприклад, у випадку, коли в лівій частині в т.О об’єму знаходиться нагрівач. Позначимо через Т1 і Т2 - значення температури на відстані від площадки dS , тоді Т1 > Т2 . Кінетична енергія молекули газу визначається за формулою
де і – число ступенів вільності молекули . З цієї формули слідує, що Е1 > Е2 , тобто енергія молекул, що знаходиться зліва від dS більша, за енергію молекул, що знаходиться справа від dS. Тому в напрямі зменшення температури буде відбуватися переважне перенесення енергії , а отже, і кількість теплоти dQ, бо внутрішня енергія газу складається з кінетичної енергії його молекул.
Застосовуючи рівняння переносу (4), відмітимо, що в даному випадку фізичною характеристикою, що переноситься, є енергія молекули, тобто 
.
Тоді, так як концентрацію n молекул можна вважати однаковою у всьому об’ємі газу, можемо записати :
(9)
де dT = Т1 - Т2
(9)
(10)
де dQ – кількість теплоти (внутрішня енергія), що переноситься за час dT крізь площадку dS, перпендикулярну напряму зменшення температури.
Підставляючи вираз (9) і (10) в рівняння переносу (4) отримаємо
Помноживши і поділивши праву частину цієї рівності на масу молекули m і врахувавши, що 
можемо записати
, 
, 
,
де - густина газу
- молярна маса
- молярна теплоємність газу при V=const
Тоді останню рівність можна записати в такому вигляді :
- питома теплоємність газу при V=const
Тоді отримаємо :
(11)
Позначимо
(12)
де 
- коефіцієнт теплопровідності
(13)
З формули (13) слідує, що кількість теплоти dQ, що переноситься крізь площадку dS, перпендикулярну до напряму осі Ох, в якому зменшується температура, пропорційна розмірам цієї площадки, проміжку часу dt переносу і градієнту температури 
.
Формула (13) називається рівнянням теплопровідності чи законом Фур’є (бо вперше це рівняння вивів французький математик Фур’є).
Вияснимо фізичний зміст коефіцієнта теплопровідності , скориставшись формулою (13), в якій
, 
Тоді отримаємо : = 
, тобто коефіцієнт теплопровідності чисельно дорівнює кількості теплоти, що переноситься крізь площадку в 1м2 за 1с. при градієнті температури в 
.
З формул (12) і (13) слідує, що коефіцієнт теплопровідності вимірюється в 