Главная | Обратная связь

Определение переходных процессов.

Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы элек­трической цепи (обычно периодического) к другому (обычно также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например амплитудой, фазой, формой или частотой, действующей в схеме ЭДС, зна­чениями параметров схемы, а также вследствие изменения конфигурации цепи.

Периодическими являются режимы синусоидального и постоянного тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цепи.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммута­ция — это любое переключение электрической цепи, т.е. процесс замыкания

 

Рис.1 Рис.2

(рис. 1, а) или размыкания (рис. 1, б) выключателей.Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия маг­нитного и электрического полей этих эле­ментов не может изменяться скачком при коммутации в цепи. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от одного энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.

Процесс перехода от одного установившегося состояния к другому протекает не мгновенно (скачком), а постепенно, в течении некоторого времени.

Переходные процессы обычно являются быстро протекающими; дли­тельность их составляет десятые, сотые, а иногда даже миллиардные доли секунды; сравнительно редко длительность переходных процессов дос­тигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных процессов важно, так как оно дает возможность установить, как дефор­мируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через уси­лители и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изо­ляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процес­са (и вызвать недопустимые механические усилия), а также определить продолжительность переходного процесса.

Для описания переходного процесса была предложена так называемая “базовая модель”. Поведение состояния электрической цепи в такой модели предложно описывать с помощью дифференциальных уравнений. Название базовая принято в силу того, что любая механическая(любая другая) система может быть представлена как электрическая цепь. Далее ее поведение можно рассматривать по законам электрических цепей.

1.2. Приведение задачи о переходном процессе к решению ли­нейного дифференциального уравнения с постоянными коэффици­ентами. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы (рис. 2) при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений на элемен­тах L и R равна ЭДС Е:

и_L +u_r = Е ( 1 )

или

L(di /dt) + Ri = E ( 2 )

 

Как известно из курса математики, уравнение, содержащее неизвест­ную функцию (в нашем случае i) и ее производные (в нашем случае L(di/dt) , называют дифференциальным уравнением.

Таким образом, определение тока как функции времени, по сути дела, есть решение дифференциального уравнения.

Известно, что решение дифференциального уравнения — это отыс­кание функции, удовлетворяющей ему. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное уравнение в тождество.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным урав­нением - неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим, что пере­ходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной - нелинейными. В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в ли­нейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами. Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянны­ми параметрами разработаны различные аналитические методы: клас­сический, операторный, метод интеграла Фурье и др., которые приме­няются и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического и операторного методов. Первый обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть общие свойства линейных цепей при переходных процессах, а также общие за­коны, которым подчиняются переходные процессы в линейных электри­ческих цепях. Справедливость представления переходного процесса решением дифференциального уравнения покажем на примере подключения цепи, рис.2, Состояние цепи описывается неоднородным дифференциальным уравнением (2).

 

1.3 Принужденные и свободные составляющие токов и напря­жений.

Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения.

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения бу­дем называть принужденной составляющей тока (напряжения), а результат решения однородного уравнения — свободной составляющей. Сумма частного решения неоднородного уравнения и результата решения однородного уравнения является полным решением уравнения (для уравнения 1 – это полный ток).

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напря­жений (полного, принужденного и свободного) основное значение име­ют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряже­ние — это напряжение, которое в действительности имеется между не­которыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока это частное решение уравнения (2)
inp = E/R ( 3 )

где, Е - постоянная ЭДС.

Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представ­ляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС с частотой ω, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является, соответственно, синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты ω.

Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидально­го тока. с помощью символического метода . Если в схеме дей­ствует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью мето­дов, рассмотренных для цепей с источниками постоянной ЭДС или тока.

Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужден­ная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.

Свободная составляющая определяется из однородного уравнения. Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно пред­шествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следую­щий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скач­ком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае

L(di /dt) + Ri = 0 ( 4 )

Решением однородного уравнения является показательная функция вида А· е^рt.

Для всех переходных процессов условимся, что момент t = 0 соответ­ствует моменту коммутации.

Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода дадим их значе­ния для рассматриваемого примера:

A= -E/R и p = -R/L ( 5 )

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону е^рt . Так, в рассмотренном примере i_св = (Е/R) е^рt. С увеличением времени t множитель е^-(r/L)t быстро уменьшается. Название «свободная» объясняется тем, что эта составляющая- есть решение уравнения, свободного от вы­нуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Полный ток

i = i_пр +i_св ( 6 )

Следовательно, решение уравнения (1) запишется так:

 

i = (Е/R) – (Е/R) е^{- (r/L)t} ( 7 )

 

где( E/R)-—частное решение неоднородного уравнения (2); (Е/R)е^{- (r/L) t}

общее решение однородного уравнения (4). Подстановка (7) в (2) дает тож­дество

L[d (Е/R) – (Е/R) е^{- (r/L)t} /dt] + R[(Е/R) – (Е/R) е^{- (r/L)t}]=

- L(Е/R) [- R/L] е^{- (r/L)t}+ Е - Е е^{- (r/L)t}= Е

Следовательно, (7) действительно является решением уравнения (2).

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины. Согласно закона сохранения энергии энергия скачком изменяться не может и, следовательно, не может изменяться скачком обусловливающая ее величина. Если предположить, что энергия изменится мгновенно за время t = 0, то мощность,необходимая для этого,

Р = ( dw/dt) = w/0 = ∞ ( 8 )

оказалась бы равной бесконечности, а источников с бесконеч­ной мощностью в природе не существует.

Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что при лю­бых переходных и установившихся процессах соблюдают два основных положения: ток через индуктивную катушку и напряжение на конденса­торе не могут изменяться скачком.

1.4. Обоснование невозможности скачка тока через индуктив­ную Аатушку и скачка напряжения на конденсаторе. Доказательство того, что ток через индуктивную катушку не может изменяться скачком, проведем на примере схемы на рис.2. По второму закону Кирхгофа, согласно (4)

 

L(di /dt) + Ri = 0 ( 8)

Ток i и ЭДС Е могут принимать конечные (не бесконечно большие) значения.

Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока означа­ет, что за бесконечно малый интервал времени Δt→0 ток изменится на конечное значение Δ i. При этом Δ i /Δt→∞ . Если вместо L(di /dt) в уравнение (10) подставить ∞ , то его левая часть не будет равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа.

Следовательно, допущение о возможности скачкообразного измене­ния тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирх­гофа.

Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на L, равное

L(di /dt), скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа.

Доказательство того, что напряжение на конденса­торе не может изменяться скачком, проводится анало­гично.

Обратимся к простейшей цепи с конденсатором (рис.3). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа при замыкании ключа:

R i + U_с = Е ( 9 )

где Е— ЭДС источника, конечная величина; U_с — напряжение на кон­денсаторе. t

Рис.3

Так как i = C(dU_c/dt), то (∆U_с/∆t) ≈ ( dU_c/dt),

то

RC( dU_c/dt) + U_c = E ( 10 )

Если допустить, что напряжение U_c может измениться скачком, то (∆U_с/∆t) ≈ ( dU_c/dt) → ∞ и левая часть (10) не будет равна правой части. Отсю­да следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму закону Кирхгофа.

Однако ток через конденсатор, равный С(dU_c/dt), может изменяться скач­ком; это не противоречит второму закону Кирхгофа.

Из указанных двух основных положений следуют два закона (прави­ла) коммутации

Глава 2. Основные положения в теории переходных процессов.