Главная | Обратная связь

Векторний добуток векторів

 

Нехай задано два вектори і .

Означення.Векторним добутком векторів і називається вектор , який задовольняє наступні умови:

1) вектори утворюють праву трійку;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і (тобто пер-

пендикулярний площині, у якій лежать вектори і ) ;

3) , де .

 

 

а в

 

 

Рис. 26

 

Векторний добуток векторів має наглядні геометричну та механічну інтерпретації. Розглянемо паралелограм, який побудовано на векторах і (рис. 27):

 

 

 

Рис. 27

Площа цього паралелограма дорівнює , тобто саме . Таким чином довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах.

Нехай у точці прикладено силу , і – деяка фіксована точка. З фізики відомо, що моментом сили відносно точки називається вектор , довжина якого дорівнює добутку величини сили на плече, і який напрямлено по осі обертання так, що коли дивитися з його кінця, то обертання тіла відбувається проти годинникової стрілки (рис. 28).

 

 

Рис. 28

 

Оскільки , то момент сили , прикладеної в точці , відносно точки визначається векторним добутком .

Розглянемо деякі властивості векторного добутку:

1. , тобто від перестановки множників векторний добуток змінює свій знак (на відміну від скалярного добутку). Дійсно, хоча , але якщо ми змінюємо місцями вектори і (рис. 26), то трійка з правої стає лівою, і для того, щоб вона залишилася правою, необхідно вектор напрямити у протилежному напряму.

2. .

3. .

4. Векторний добуток векторів і дорівнює нуль-вектору тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні.

Дійсно, у цьому випадку , або , отже , а тоді .

Розглянемо векторні добутки векторів ортонормованого базису:

, , .

З цих рівностей і властивостей 1–3 векторного добутку нескладно вивести координатну форму векторного добутку. Отже, нехай , . Тоді маємо:

.

 

Приклади.

1. Знайти площу трикутника , якщо

.

Площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і . А тоді . Знайдемо , .

.

Отже:

.

2. Знайти момент сили , прикладеної до точки

відносно точки .

Маємо: . Оскільки , то

.