Главная | Обратная связь

Площина у просторі. Рівняння площини.

Одною з найпростіших поверхонь є площина. Моделями площин може бути аркуш паперу, поверхня столу, стіни, підлоги, стелі та ін. Площина є нескінченною поверхнею. Її також може бути визначено як геометричне місце точок простору, рівновіддалених від двох заданих точок простору. І виходячи з цього означення, можна легко отримати рівняння площини, подібно тому, як ми отримали рівняння прямої лінії на площині (див. «Аналітична геометрія на площині»). Але зараз ми отримаємо рівняння площини, спираючись на апарат векторної алгебри.

Отже, нехай у ПДСК у просторі задана площина . Як можна задати площину? Можна, наприклад, задати три точки цієї площини, що не лежать на одній прямій. А можна задати одну точку площини і деякий ненульовий вектор , який перпендикулярній цій площині. Ось з цього ми й будемо виходити.

Нехай – фіксована точка площини , а вектор перпендикулярний цій площині (рис. 33). Цей вектор називається нормальним вектором площини . Нехай – довільна точка площини . Рівняння площини ми отримаємо, якщо знайдемо зв’язок між координатами цієї точки.

 

 

Рис. 33

 

Розглянемо вектор . Оскільки його цілком розташовано у площині , а вектор – перпендикулярній цій площині, то вектор буде перпендикулярний вектору , отже їх скалярний добуток дорівнює нулю:

.

Якщо записати це рівняння у координатній формі (див. п.8), то отримаємо:

.

Розкриваючи у цьому рівняння дужки і позначаючи , дістанемо:

.

Це рівняння називається загальним рівнянням площини. З цього рівняння видно, що площина є алгебраїчною поверхнею 1-го порядку. Розглянемо деякі частинні випадки рівняння поверхні.

1. Нехай , тобто

.

Очевидно, що координати точки це рівняння задовольняють. Це означає, що у даному випадку площина проходить через початок координат.

2. Нехай , тобто

.

 

Нормальний вектор . Очевидно, він буде перпендикулярним вектору , отже площина буде паралельна цьому вектору, тобто осі (рис. 34).

 

 

Рис. 34

 

На координатній площині площина буде вирізати пряму лінію .

3. Якщо , тобто , то площина буде паралельна осі .

4. Якщо , тобто , то площина буде паралельна осі .

5. Нехай водночас , але , тобто . Тоді рівняння можна переписати так:

.

Це рівняння буде визначати площину, яка водночас паралельна осям , отже площині (рис. 35).

 

 

 

Рис. 35

 

 

6. Якщо , то площина буде паралельна площині .

7. Якщо , то площина буде паралельна площині .

Рівняння самих координатних площин запишуться так:

Площина : .

Площина : .

Площина : .

Приклад. Скласти рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .

Згідно з загальним рівнянням площини матимемо:

.

Або, розкриваючи дужки:

.