 |
|
Нормальний закон розподілу випадкової величини
Нехай неперервна випадкова величина Х задана густиною розподілу 
Нехай всі можливі значення х належать відрізку 
. Розіб’ємо цей відрізок на n частинних відрізків довжиною 
, 
… 
і виберемо в кожному із них довільну точку 
(і=1,2,…n). Знайдемо математичне сподівання неперервної величини по аналогії з дискретною
Математичним сподіванням неперервної випадкової величини х, можливі значення якої належать відрізку , називають визначений інтеграл
В загальному вигляді
Вважається що , цей невласний інтеграл збігається абсолютно тобто існує інтеграл 
По аналогії вводимо поняття дисперсії неперервної величини
Дисперсією неперервної випадкової величини називають математичне сподівання квадрата його відхилення
Або в загальному вигляді
Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається
Властивості дисперсії та математичного сподівання зберігаються як і для дискретних
Легко отримати співвідношення
Приклад:
Знайти 
?
Приклад. Знайти математичне сподівання та дисперсію випадкової величини, рівномірно розділеної в інтервалі 
Для a=0, b=1;
, 
Нормальним називають розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини, яка має густину розподілу
Покажемо що a – математичне сподівання
– середнє квадратичне відхилення
Нормованим називають нормальний розподіл з параметрами а=0, =1, від Х з (а) і можна позначити до нормованої величини з а=0, =1,
Густина нормованого розподілу
Для нормального розподілу
Графік
1. f(x) визначена для всіх R
2. f(x)>0
3. lim f(x)=0
4. При x=a f(x) має max,який дорівнює
5. f(x) – симетрична відносно x=a
6. 
При 
, 
, 
Точки перегину.
Так як max f(x)= 
, то при зменшенні крива f(x) площиною, а при зростанні крива f(x) стає гостро вершинною (Навпаки!!!)
– функціяЛапласа
Знайдемо
Правило трьох сігм
Нехай b= t тоді 
Якщо t=3, тобто 
то
Якщо випадкова величина розподілена нормально , то абсолютна величина відхилення від максимального сподівання не перебільшує утроєне середнє квадратичне відхилення.
Лекція 1