Главная | Обратная связь

Моделювання випадкових величин. Метод Монте-Карло

Імітація перебігу випадкових процесів у СМО здійснюється за допомогою моделювання випадкових величин з різними законами розподілу. Для отримання таких величин використовується випадкова величина R, рівномірно розподілена на інтервалі [0, 1], з якої відповідними перетвореннями отримують випадкову величину з потрібним законом розподілу.

Нагадаємо [5], що випадкова величина R називається рівномірно розподіленою на інтервалі [0, 1], якщо її щільність імовірності f(r) на цьому інтервалі постійна і дорівнює одиниці:

Функція розподілу такої величини має вигляд:

Випадкову величину R, рівномірно розподілену на інтервалі [0, 1], можна отримати з дискретної випадкової величини, що з рівною імовірністю приймає значення 0 та 1. Дійсно, двійковий дріб R = 0,a₁a₂..., де a₁a₂... є послідовність незалежних випадкових величин, кожна за яких з імовірністю 0,5 приймає значення 0 та з імовірністю 0,5 – одиницю, представляє собою випадкову величину, рівномірно розподілену на інтервалі [0, 1].

Для того, щоб проміжки між сусідніми значеннями такої величини стрімилися до 0, необхідно мати безкінечну послідовність незалежних випадкових величин {a_i, i=1,2,...}, що з рівною імовірністю приймають значення 0 та 1. На практиці безперервна випадкова величина R моделюється наближено за допомогою дискретної випадкової величини, яка з рівною імовірністю приймає значення з інтервалом між сусідніми значеннями .

Представимо відрізок [0, 1] лінією, що утворює коло. Тоді випадкова величина R, рівномірно розподілена на інтервалі [0, 1] виявиться рівномірно розподіленою по довжині кола. Маємо аналогію з грою в рулетку, що й спричинило назву методу – Монте-Карло.

При ручних обчисленнях значеня величини R беруть з таблиць випадкових чисел (додаток Д), при моделюванні на ЕОМ використовують відповідні функції генерацїї псевдовипадкових чисел. Ці числа називаються не випадковими, а псевдовипадковими, оскільки послідовність таких чисел виробляється рекурентним способом за допомогою спеціальних арифметичних та логічних операцій, отже є періодичною, а не випадковою в чистому вигляді.

Сучасні мови програмування високого рівня (C⁺⁺, PASCAL, тощо) або спеціалізовані математичні пакети (MatLab, MatCad) мають такі вбудовані функції (RANDOM). Зокрема, Microsoft Excel дозволяє генерувати значеня величини R за допомогою функції СлЧис.

Метод Монте-Карло дозволяє на базі послідовності згенерованих псевдовипадкових чисел отримувати значення дискретної або безперервної випадкової величини з будь-яким заданим законом розподілу. Підходи щодо дискретних та безперервних величин дещо різні [5]. В теорії телетрафіку процес надходження та обслуговування викликів описується безперервними випадковими величинами – інтервалом між сусідніми викликами у вхідному потоці, часом обслуговування одного виклика або часом очікування виклика в черзі.

В цьому випадку моделювання послідовності значень безперервної випадкової величини ґрунтується на наступній теоремі:

Теорема: якщо r_i – випадкові числа (рівномірно розподілені на інтервалi [0, 1]), то можливе значення x_i безперервної випадкової величини Х з заданою функцією розподілу F(х), що відповідає r_i , є коренем рівняння

. (8.1)

Згідно до цієї теореми, для одержання послідовності випадкових значень, розподілених за заданим законом, потрібно для кожного псевдовипадкового числа r_i, що генерується відповідною функцією, розв’язати рівняння (8.1). Розглянемо використання методу для моделювання процесів надходження викликів найпростішого потоку та обслуговування викликів системою з втратами.