Моделювання марківського процесу

Для відтворення даного процесу на комп’ютері необхідні експоненціально розподілені числа, рівномірно розподілені в интервалі [0,1] числа х, змінна iдля запису стану процесу (числа зайнятих ліній), змінні Tі T_nдля підрахунку загального часу функціонування системи та часу перебування системи в стані насичення. Відношення T_n/T надасть після закінчення серії статистичну оцінку імовірності втрат за часом.

Алгоритм моделювання полягає в наступному. При переході процесу в стан i генерується випадкове число z_і, що відповідає інтервалу між викликами. Його значення додається до T. Якщо i = v, то воно одночасно додається до T_n. Потім генерується число х і порівнюється з p_i . При х< p_i процес переходить у станi+1 , інакше – в стан i-1 .

Якщо для дисципліни обслуговування, що моделюється, необхідно враховувати номери зайнятих або звільнених ліній, то додатково задіюється один або декілька масивів обсягом v. Вільній і-й лінії відповідає одиниця в і-му елементі масиву, а зайнятій – 0.

Заміна моделювання реального процесу обслуговування на марківський процес суттєво спрощує модель. Подальшого спрощення можна досягти при заміні марківського процесу з безперервним часом на марківський ланцюг (процес з дискретним часом). В цьому випадку модель відтворює тільки моменти переходу з одного стану в інший. Час перебування СМО в різних станах в явному виді не враховується. Відповідно випадкові величини z і ξ не генеруються.

Реалізація випадкової рівномірно розподіленої в интервалі [0,1] величини х імітує або надходження виклику при , або звільнення однієї зайнятої лінії при . В цьому випадку підраховується не загальний час моделювання та перебування у стані насичення, а загальна кількість викликів, що надійшли N та були втрачені N_В. Відношення N_B/N надасть після закінчення серії статистичну оцінку імовірності втрати виклику. Використання марківського ланцюга дозволяє скоротити тривалість кожного цикла моделювання і одночасно зменшити дисперсію отриманих оцінок втрат та інших характеристик, оскільки зменшується кількість випадкових величин. Середні знгачення характеристик при цьому зберігаються.

Цей принцип моделювання можна приміняти не тільки при експоненціальному розподілі інтервалу між викликами та тривалості обслуговування, але і при більш загальних марківських розподілах цих величин. Як було показано в п. 2.10, марківські розподіли дозволяють при заданій точності апроксимувати практично будь-які емпіричні розподіли.

Розглянемо алгоритм моделювання для випадку, коли величини z і ξ розподілені за комбінованим експоненціальним законом (2.47). Проміжок між викликами z складається з випадкового числа фаз, кожна з яких розподілена за експоненціальним законом з параметром а_і (і = 1, 2, 3). Після і-ї фази з імовірністю q₁(a) надходить виклик, а з імовірністю p₁(a)=1–q₁(a) розпочинається наступна (і+1)-а фаза. Граничне число фаз п = 3, відповідно q₃(a)=1 і p₃(a)=0. Тривалість обслуговування ξ також складається з випадкового числа фаз, розподілених за експоненціальним законом з параметром b_j (j = 1, 2, 3). Після j-ї фази з імовірністю q₁(b) обслуговування закінчується, а з імовірністю p₁(b)=1–q₁(b) розпочинається наступна (j+1)-а фаза обслуговування. Граничне число фаз п = 3, тобто q₃(b)=1 і p₃(b)=0.

Стан модельованої v-канальної системи визначимо за допомогою чотирьох випадкових змінних: i, k₁, k₂, k₃. Змінна i=1, 2, 3 відповідає номеру фази, в якій знаходиться проміжок між викликами z, змінні k₁, k₂, k₃ – числу ліній, зайнятих на j-й фазі обслуговування. Очевидно, число вільних ліній k₀ =v-k₁-k₂-k₃. Інтенсивність виходу системи зі стану (i, k₁, k₂, k₃) дорівнює

Λ(i, k₁, k₂, k₃) = а_і + k₁ b₁+ k₂ b₂+ k₃ b₁.

Отже, імовірність закінчення і-ї фази проміжка z є

p_i(z) = а_і / Λ(i, k₁, k₂, k₃)

А імовірність закінчення і-ї фази інтервала ξ є

p_i(ξ) = k_jb / Λ(i, k₁, k₂, k₃)

Алгоритм моделювання приведений на рис. 8. 2.