Главная | Обратная связь

Неопределённо возрастающие и неопределённо убывающие.

Прежде чем продолжить рассмотрение вопросов, непосредственно связанных с континуальным, необходимо вернуться к сказанному ранее относительно несуществования fractio omnium infima (части, меньшей всех других), что позволит понять, каким образом соотношение или симметрия, существующая в некоторых отношениях между неопределённо возрастающими и неопределённо убывающими величинами, может быть выражена численно. Мы видели, что в области дискретного количества, в случае рассмотрения последовательности целых чисел, эти числа необходимо рассматривать как неопределённо возрастающие начиная с единицы, но, очевидно, речь не может идти о неопределённом убывании, поскольку единица в принципе неделима; если брать числа в убывающей последовательности, придётся остановиться на единице, то есть представление неопределённого целыми числами ограничено только одним направлением – направлением возрастания. С другой стороны, если рассматривать область континуальных величин, можно наряду с неопределённо возрастающими величинами рассматривать и неопределённо убывающие; это же применимо и к области дискретного количества, если для выражения данной возможности вводится понятие дробных чисел. В самом деле, можно рассматривать последовательность дробей, которая неопределённо убывает; то есть какой бы малой ни была дробь, всегда может быть образована ещё меньшая, и это убывание может достичь fractio minima (наименьшей дроби) не в большей степени, чем возрастание целых чисел может достичь numerus maximus (наибольшего числа).

Если использовать численное представление, чтобы наглядно изобразить соответствие между неопределённо возрастающим и неопределённо убывающим, достаточно рассмотреть последовательность целых чисел вместе с последовательностью обратных им чисел; число называется обратным другому, если их произведение равно единице, поэтому число, обратное числу n, обозначается как 1/n. Поскольку последовательность целых чисел неопределённо возрастает начиная с единицы, последовательность обратных им чисел неопределённо убывает начиная с той же единицы, которая является обратной самой себе и поэтому служит отправной точкой для обеих указанных последовательностей; каждому числу одной последовательности, таким образом, соответствует число в другой и наоборот, так что обе последовательности в равной степени неопределённы в точности одинаковым образом, хотя и в разных направлениях. Очевидно, что обратное некоторому числу число столь же мало, сколь первое велико, поскольку их произведение остаётся постоянным; каким бы большим ни было число n, число n+1 будет всё равно больше в силу самой формулы образования неопределённой последовательности целых чисел, и, точно так же, каким бы малым ни было число 1/n, число 1/(n+1) всё равно будет меньше; это явно показывает невозможность существования некоего "меньшего из всех чисел", сама идея которого является не менее противоречивой, чем идея "наибольшего из всех чисел", ибо, если невозможно остановиться на определённом числе в направлении возрастания, то, точно так же, невозможно остановиться на некотором числе и в направлении убывания. Вместе с тем, поскольку это соотношение, обнаруживаемое в области численной дискретности, является, прежде всего, следствием приложения этой дискретности к континуальному (как мы замечали, говоря о дробных числах, введение которых предполагается таковым приложением), оно может выражать только соотношение, существующее в своём роде внутри самого континуального между неопределённо возрастающим и неопределённо убывающим, которое с необходимостью обусловлено самой природой числа. Поэтому, всякий раз когда континуальные величины рассматриваются как способные принимать столь большие или столь малые значения, сколь угодно, то есть больше или меньше некоторой находимой величины, всегда можно наблюдать некоторую симметрию или, скажем так, параллелизм, выраженный этими двумя обратными видами переменности. Это замечание в дальнейшем поможет нам лучше понять возможность существования различных порядков бесконечно малых величин.

Следует указать, что, хотя запись 1/n ассоциируется с идеей дробных чисел и хотя она, бесспорно, фактически ведёт своё происхождение от них, не следует определять числа, обратные целым, как собственно дробные – ибо следует избегать проблемы, которую влечёт за собой обычное понятие дробных чисел со строго арифметической точки зрения, а именно понимания дробей как "частей единицы". На самом деле достаточно рассматривать две последовательности, состоящие из чисел, соответственно, больших и меньших единицы, как два порядка величин, имеющих общий предел в единице и в то же время имеющих начало в единице, которая поистине является источником всех чисел; более того, если рассматривать эти две последовательности как одну, можно сказать, что единица занимает в точности середину такой последовательности, поскольку, как мы видели, существует в точности столько же чисел в одной последовательности, как в другой. Вместе с тем, если обобщать дальше и вместо рассмотрения только последовательности целых чисел и обратных им ввести дробные числа в собственном смысле, в отношении симметрии возрастающих и убывающих чисел ничего не изменится: с одной стороны будут все числа большие единицы, а с другой стороны все числа меньшие единицы; в данном случае, опять-таки, каждому числу a/b > 1 будет соответствовать число b/a < 1 в другой группе, и наоборот, так что (a/b) (b/a) = 1, так же как в ранее приведённом примере было n (1/n) = 1, и, таким образом, будет в точности одинаковое количество членов в каждой из этих двух неопределённых групп, разделённых единицей; вместе с тем, следует понимать, что когда мы говорим "одинаковое количество членов", мы просто имеем в виду почленное соответствие рассматриваемых двух последовательностей, а не то, что они могут ввиду этого рассматриваться как "исчислимые". Любые два обратные друг другу числа при умножении дают единицу, из которой они производятся; более того, можно сказать, что единица, занимая срединное положение между двумя этими группами чисел и будучи единственным числом, которое можно рассматривать как принадлежащее им обеим¹ – хотя в реальности было бы корректнее сказать, что оно скорее объединяет, а не разделяет их – соответствует состоянию совершенного равновесия и содержит в себе все числа, которые происходят из неё парами обратных или комплементарных чисел, при том что каждая такая пара в силу этой комплементарности составляет относительное единство в своей нераздельной двойственности²; но к этому соображению и проистекающим из него следствиям мы вернёмся несколько позже.

1 Согласно определению обратных чисел, единица появляется сначала в форме 1, затем ещё раз в форме 1/1, так что (1) (1/1) = 1; следовательно, единица является обратной самой себе.

2 Мы сказали "нераздельной", поскольку если существует одно из двух чисел такой пары, непременно в силу этого будет существовать и другое.

Вместо того чтобы определять ряд целых чисел как неопределённо возрастающий, а ряд обратных им чисел как неопределённо убывающий, можно также в том же смысле сказать, что числа, таким образом, стремятся, с одной стороны, к неопределённо большому, а с другой стороны, к неопределённо малому, при условии, что под ними мы понимаем действительные пределы области, в которой рассматриваются эти числа, ибо переменная величина может стремиться только к пределу. Рассматриваемая область является, коротко говоря, областью численных величин, взятой во всём возможном объёме³; это, в свою очередь, равнозначно утверждению, что её пределы ограничены не таким-то и таким-то конкретным числом, каким бы большим или малым его ни считать, а самой природой числа как такового. В силу самого того факта, что число, как и все другие явления обусловленной природы, исключает всё, чем оно не является, здесь не может идти речи о бесконечном; вместе с тем, мы только что сказали, что неопределённо большое должно непременно рассматриваться как предел, хотя он ни в коем случае не является terminus ultimus (конечным пределом) ряда чисел, и в этом отношении следует указать, что выражение "стремиться к бесконечности", часто употребляемое математиками в смысле "неопределённо возрастать", опять-таки является абсурдом, поскольку бесконечное с очевидностью подразумевает отсутствие пределов и, соответственно, отсутствие чего-либо, к чему можно стремиться. Что также достаточно примечательно, это то, что некоторые математики, хоть и признавая некорректный и неадекватный характер выражения "стремиться к бесконечности", с другой стороны, безо всяких колебаний принимают выражение "стремиться к нулю" в смысле "неопределённо убывать"; однако нуль или "нулевая величина" представляет собой по отношению к убывающим величинам то же самое, что так называемое "количественное бесконечное" по отношению к возрастающим величинам; но к этим вопросам мы обратимся позже, в частности, когда будем рассматривать вопрос нуля и его различных значений.

3 Само собой разумеется, что несоизмеримые (иррациональные) числа, в плане их величины, с необходимостью рассеяны среди обычных чисел, целых или дробных, в зависимости от того, больше или меньше они единицы; это, вместе с тем, указывает на то соответствие геометрического характера, которое мы отмечали ранее, а также на возможность определения такого числа посредством двух сходящихся рядов соизмеримых чисел, общим пределом которых оно является.

Поскольку последовательность чисел в своей целокупности не "ограничивается" некоторым числом, следовательно, не существует сколь бы то ни было большого числа, которое могло бы пониматься как неопределённо большое в собственном смысле; и, естественно, то же самое верно в отношении неопределённо малых чисел. Можно только рассматривать некоторое число как практически неопределённое, если так можно выразиться, когда оно не может быть выражено средствами языка или письма, что, в сущности, неминуемо происходит при рассмотрении постоянно возрастающих и убывающих чисел; здесь имеет место частный случай, так сказать, "перспективы", но в целом, даже это находится в соответствии с характером неопределённого, поскольку неопределённое, в конечном счёте, это не что иное, как то, пределы чего могут быть не устранены (что противоречило бы самой природе вещей), но отстранены до такой степени, что они будут полностью потеряны из виду. В этом отношении можно рассмотреть достаточно любопытные вопросы; так, можно задаться вопросом, почему в китайском языке неопределённое символически выражается числом десять тысяч: например, выражение "десять тысяч существ" означает всех существ, которые в действительности составляют неопределённое или "неисчислимое" множество. Что довольно примечательно, это то, что в точности такая же ситуация существует в греческом языке*, где одно слово схожим образом одновременно означает оба указанных понятия, с разницей только в ударении, что, очевидно, является второстепенной мелочью, несомненно, вызванной только необходимостью различения узуса: μύριοι – десять тысяч, и μυρίοι – неопределённое количество. Подлинная причина этого явления заключается в следующем: число десять тысяч представляет собой четвёртую степень десяти; а согласно формулировкам книги Дао дэ цзин: "один производит два, два производит три, а три производит все числа", что означает, что четыре, число, следующее сразу числом три, в некотором роде равнозначно всему ряду чисел, по той причине что, когда есть четвёрка, складывая первые четыре числа, можно получить десятку, которая символизирует полный числовой цикл: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, что, как мы уже упоминали ранее, представляет собой числовую формулу пифагорейской тетрактиды (четверицы). Можно добавить, что это представление численной неопределённости имеет соответствие на уровне пространства: общеизвестно, что повышение степени числа на один порядок соответствует в пространстве добавлению измерения; а поскольку наше пространство имеет три измерения, выход на уровень выше третьей степени означает выход за его границы, что, иными словами, равнозначно тому, что возведение в четвёртую степень кладёт предел его неопределённости, поскольку, когда мы производим такое возведение, этим самым мы выходим за рамки пространства и переходим к другому уровню возможностей.

* Ср. древнерусское "тьма" в значении десять тысяч. (прим. перев.)

Глава 10.